Τι είναι το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα;
Ερ: Τι είναι το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα;
A: Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (ΚΟΘ) είναι ένα θεώρημα σχετικά με τις οριακές συμπεριφορές συγκεντρωτικών κατανομών πιθανοτήτων. Δηλώνει ότι δεδομένου ενός μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το άθροισμά τους θα ακολουθεί μια σταθερή κατανομή. Εάν η διακύμανση των τυχαίων μεταβλητών είναι πεπερασμένη, τότε θα προκύψει μια κατανομή Gauss.
Ερώτηση: Ποιος έγραψε την εργασία στην οποία βασίστηκε αυτό το θεώρημα;
A: Ο George Pَlya έγραψε το άρθρο "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem" το 1920, το οποίο χρησίμευσε ως βάση για αυτό το θεώρημα.
Ερ: Ποιος τύπος κατανομής προκύπτει όταν όλες οι τυχαίες μεταβλητές έχουν πεπερασμένη διακύμανση;
Α: Όταν όλες οι τυχαίες μεταβλητές έχουν πεπερασμένη διακύμανση, από την εφαρμογή του CLT θα προκύψει μια γκαουσιανή ή κανονική κατανομή.
Ερ: Υπάρχουν γενικεύσεις της CLT;
Α: Ναι, υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις της CLT που δεν απαιτούν πλέον πανομοιότυπη κατανομή όλων των τυχαίων μεταβλητών. Αυτές οι γενικεύσεις περιλαμβάνουν τις συνθήκες Lindeberg και Lyapunov, οι οποίες διασφαλίζουν ότι καμία τυχαία μεταβλητή δεν έχει μεγαλύτερη επιρροή από άλλες στο αποτέλεσμα.
Ερ: Πώς λειτουργούν αυτές οι γενικεύσεις;
Α: Αυτές οι γενικεύσεις διασφαλίζουν ότι καμία μεμονωμένη τυχαία μεταβλητή δεν έχει μεγαλύτερη επιρροή από άλλες στο αποτέλεσμα με την εισαγωγή πρόσθετων προϋποθέσεων, όπως οι συνθήκες Lindeberg και Lyapunov.
Ερ: Τι λέει η CLT για τη δειγματική μέση τιμή και το άθροισμα μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με την ίδια κατανομή;
A: Σύμφωνα με την CLT, αν n ταυτόσημες και ανεξάρτητα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή ى {\displaystyle \mu } και τυπική απόκλιση َ {\displaystyle \sigma } , τότε ο δειγματικός τους μέσος (X1+...+Xn)/n θα είναι προσεγγιστικά κανονικός με μέση τιμή ى {\displaystyle \mu } και τυπική απόκλιση َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Επιπλέον, το άθροισμά τους X1+...+Xn θα είναι επίσης κατά προσέγγιση κανονικό με μέση τιμή nى {\displaystyle n\mu } και τυπική απόκλιση √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } .
