Ελαστική σύγκρουση

Μια ελαστική σύγκρουση είναι όταν δύο αντικείμενα συγκρούονται και αναπηδούν με μικρή ή καθόλου παραμόρφωση. Για παράδειγμα, δύο λαστιχένιες μπάλες που αναπηδούν μεταξύ τους θα ήταν ελαστικές. Δύο αυτοκίνητα που συγκρούονται μεταξύ τους θα ήταν ανελαστικά, καθώς τα αυτοκίνητα θρυμματίζονται και δεν αναπηδούν. Σε μια τέλεια ελαστική σύγκρουση (η απλούστερη περίπτωση), δεν χάνεται κινητική ενέργεια και έτσι η κινητική ενέργεια των δύο αντικειμένων μετά τη σύγκρουση είναι ίση με τη συνολική κινητική τους ενέργεια πριν από τη σύγκρουση. Ελαστικές συγκρούσεις συμβαίνουν μόνο αν δεν υπάρχει καθαρή μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε άλλες μορφές (θερμότητα, ήχος). Ο άλλος κανόνας που πρέπει να θυμόμαστε όταν εργαζόμαστε με ελαστικές συγκρούσεις είναι ότι η ορμή διατηρείται.

Δείγμα ελαστικής σύγκρουσης άνισων μαζών

Μονοδιάστατη Νευτώνεια

Θεωρήστε δύο σωματίδια, τα οποία συμβολίζονται με τους δείκτες 1 και 2. Έστω m₁ και m₂ οι μάζες, u₁ και u₂ οι ταχύτητες πριν τη σύγκρουση και v₁ και v₂ οι ταχύτητες μετά τη σύγκρουση.

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ορμής για να γράψετε έναν τύπο

Εφόσον πρόκειται για ελαστική κρούση, η συνολική ορμή πριν από την κρούση είναι η ίδια με τη συνολική ορμή μετά την κρούση. Δεδομένου ότι η ορμή (p) υπολογίζεται ως

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι η ορμή πριν από τη σύγκρουση είναι:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

και η ορμή μετά τη σύγκρουση να είναι:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Θέτοντας τα δύο ίσα μας δίνει την πρώτη μας εξίσωση:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ενέργειας για να γράψετε έναν δεύτερο τύπο

Ο δεύτερος κανόνας που χρησιμοποιούμε είναι ότι η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει η ίδια, δηλαδή ότι η αρχική κινητική ενέργεια είναι ίση με την τελική κινητική ενέργεια.

Ο τύπος για την κινητική ενέργεια είναι:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Έτσι, χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεταβλητές όπως και πριν: Η αρχική κινητική ενέργεια είναι:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Η τελική κινητική ενέργεια είναι:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Θέτοντας τις δύο ίσες ( αφού η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει η ίδια):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις

Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να επιλυθούν άμεσα για να βρεθεί η v_i όταν είναι γνωστή η u_i ή το αντίστροφο. Ακολουθεί ένα παράδειγμα προβλήματος, το οποίο μπορεί να επιλυθεί είτε με τη διατήρηση της ορμής είτε με τη διατήρηση της ενέργειας:

Για παράδειγμα:

Μπάλα 1: μάζα = 3 kg, v = 4 m/s

Μπάλα 2: μάζα = 5 kg, v = -6 m/s

Μετά τη σύγκρουση:

Μπάλα 1: v = -8,5 m/s

Μπάλα 2: v = άγνωστο ( Θα το αναπαραστήσουμε με v )

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ορμής:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Αφού κάνουμε πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια αφαιρέσουμε 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} $3*(-8.5)$ και από τις δύο πλευρές, παίρνουμε:

12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Αθροίζοντας την αριστερή πλευρά και διαιρώντας με το 5 {\displaystyle 5} $5$ μας δίνει:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , και κάνοντας την τελική διαίρεση μας δίνει: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Θα μπορούσαμε επίσης να λύσουμε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη Διατήρηση της Ενέργειας:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με 2 {\displaystyle 2} $2$ , και στη συνέχεια κάνοντας όλους τους απαιτούμενους πολλαπλασιασμούς, έχουμε:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Προσθέτοντας τους αριθμούς στα αριστερά, αφαιρώντας 216.75 {\displaystyle 216.75} $216.75$ και από τις δύο πλευρές και διαιρώντας με το 5 {\displaystyle 5} $5$ , έχουμε το αποτέλεσμα:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών προκύπτει η απάντηση v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5} $v=\pm 1.5$ .

Δυστυχώς, θα πρέπει ακόμα να χρησιμοποιήσουμε τη διατήρηση της ορμής για να καταλάβουμε αν το v {\displaystyle v} $v$ είναι θετικό ή αρνητικό.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι η ελαστική σύγκρουση;

A: Μια ελαστική σύγκρουση είναι όταν δύο αντικείμενα συγκρούονται και αναπηδούν με μικρή ή καθόλου παραμόρφωση.

Ερ: Ποιο είναι ένα παράδειγμα ελαστικής σύγκρουσης;

A: Δύο λαστιχένιες μπάλες που αναπηδούν μεταξύ τους θα ήταν ένα παράδειγμα ελαστικής σύγκρουσης.

Ερ: Τι είναι η ανελαστική σύγκρουση;

Α: Μια ανελαστική σύγκρουση είναι όταν δύο αντικείμενα συγκρούονται και θρυμματίζονται και δεν αναπηδούν.

Ερ: Ποιο είναι ένα παράδειγμα ανελαστικής σύγκρουσης;

Α: Δύο αυτοκίνητα που συγκρούονται μεταξύ τους θα ήταν ένα παράδειγμα ανελαστικής σύγκρουσης.

Ερ: Τι συμβαίνει σε μια τέλεια ελαστική σύγκρουση;

Α: Σε μια τέλεια ελαστική σύγκρουση, δεν χάνεται κινητική ενέργεια και έτσι η κινητική ενέργεια των δύο αντικειμένων μετά τη σύγκρουση είναι ίση με τη συνολική κινητική τους ενέργεια πριν από τη σύγκρουση.

Ερ: Πώς συμβαίνουν οι ελαστικές συγκρούσεις;

Α: Ελαστικές συγκρούσεις συμβαίνουν μόνο αν δεν υπάρχει καθαρή μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε άλλες μορφές όπως η θερμότητα ή ο ήχος.

Ερ: Τι διατηρείται σε μια ελαστική σύγκρουση;

Α: Σε μια ελαστική σύγκρουση, η ορμή διατηρείται.