Ελαστική σύγκρουση

Θεωρήστε δύο σωματίδια, τα οποία συμβολίζονται με τους δείκτες 1 και 2. Έστω m₁ και m₂ οι μάζες, u₁ και u₂ οι ταχύτητες πριν τη σύγκρουση και v₁ και v₂ οι ταχύτητες μετά τη σύγκρουση.

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ορμής για να γράψετε έναν τύπο

Εφόσον πρόκειται για ελαστική κρούση, η συνολική ορμή πριν από την κρούση είναι η ίδια με τη συνολική ορμή μετά την κρούση. Δεδομένου ότι η ορμή (p) υπολογίζεται ως

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι η ορμή πριν από τη σύγκρουση είναι:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

και η ορμή μετά τη σύγκρουση να είναι:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Θέτοντας τα δύο ίσα μας δίνει την πρώτη μας εξίσωση:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ενέργειας για να γράψετε έναν δεύτερο τύπο

Ο δεύτερος κανόνας που χρησιμοποιούμε είναι ότι η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει η ίδια, δηλαδή ότι η αρχική κινητική ενέργεια είναι ίση με την τελική κινητική ενέργεια.

Ο τύπος για την κινητική ενέργεια είναι:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Έτσι, χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεταβλητές όπως και πριν: Η αρχική κινητική ενέργεια είναι:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}

Η τελική κινητική ενέργεια είναι:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Θέτοντας τις δύο ίσες ( αφού η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει η ίδια):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}{2}}. }

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις

Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να επιλυθούν άμεσα για να βρεθεί η v_i όταν είναι γνωστή η u_i ή το αντίστροφο. Ακολουθεί ένα παράδειγμα προβλήματος, το οποίο μπορεί να επιλυθεί είτε με τη διατήρηση της ορμής είτε με τη διατήρηση της ενέργειας:

Για παράδειγμα:

Μπάλα 1: μάζα = 3 kg, v = 4 m/s

Μπάλα 2: μάζα = 5 kg, v = -6 m/s

Μετά τη σύγκρουση:

Μπάλα 1: v = -8,5 m/s

Μπάλα 2: v = άγνωστο ( Θα το αναπαραστήσουμε με v )

Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ορμής:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

Αφού κάνουμε πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια αφαιρέσουμε 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} και από τις δύο πλευρές, παίρνουμε:

  12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

Αθροίζοντας την αριστερή πλευρά και διαιρώντας με το 5 {\displaystyle 5} μας δίνει:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} , και κάνοντας την τελική διαίρεση μας δίνει:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}

Θα μπορούσαμε επίσης να λύσουμε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη Διατήρηση της Ενέργειας:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}}

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με 2 {\displaystyle 2} , και στη συνέχεια κάνοντας όλους τους απαιτούμενους πολλαπλασιασμούς, έχουμε:

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

Προσθέτοντας τους αριθμούς στα αριστερά, αφαιρώντας 216.75 {\displaystyle 216.75} και από τις δύο πλευρές και διαιρώντας με το 5 {\displaystyle 5} , έχουμε το αποτέλεσμα:

  2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών προκύπτει η απάντηση v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5} .

Δυστυχώς, θα πρέπει ακόμα να χρησιμοποιήσουμε τη διατήρηση της ορμής για να καταλάβουμε αν το v {\displaystyle v} είναι θετικό ή αρνητικό.