Τοπολογικός χώρος
Ο τοπολογικός χώρος είναι ένας χώρος που μελετάται στην τοπολογία, τα μαθηματικά της δομής των σχημάτων. Χονδρικά, είναι ένα σύνολο πραγμάτων (που ονομάζονται σημεία) μαζί με έναν τρόπο να γνωρίζουμε ποια πράγματα βρίσκονται κοντά μεταξύ τους.
Πιο συγκεκριμένα, ένας τοπολογικός χώρος έχει ένα συγκεκριμένο είδος συνόλων, που ονομάζονται ανοικτά σύνολα. Τα ανοικτά σύνολα είναι σημαντικά επειδή επιτρέπουν να μιλάμε για σημεία κοντά σε ένα άλλο σημείο, που ονομάζεται γειτονιά του σημείου. Η γειτονιά ενός σημείου είναι απλώς ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό. Αν δεν υπήρχε η έννοια των ανοικτών συνόλων, δεν θα μπορούσε κανείς να ορίσει τις γειτονιές με καλό τρόπο. Αν κάποιος προσπαθήσει να ορίσει τη γειτονιά ενός σημείου ως οποιοδήποτε σύνολο που περιέχει αυτό το σημείο, μπορεί να περιλαμβάνει μόνο αυτό το σημείο και μόνο αυτό το σημείο και όχι οποιαδήποτε σημεία κοντά του ή σημεία μακριά του. Έχουμε επίσης την έννοια των κλειστών συνόλων, τα οποία είναι συμπληρώματα των ανοικτών συνόλων. Δηλαδή, όλα τα σημεία που δεν ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο ανοικτό σύνολο αποτελούν ένα κλειστό σύνολο.
Τα ανοιχτά σύνολα πρέπει να ακολουθούν ορισμένους κανόνες ώστε να ταιριάζουν με τις ιδέες μας για την εγγύτητα. Η ένωση οποιουδήποτε αριθμού ανοικτών συνόλων πρέπει να είναι ανοικτή και η ένωση πεπερασμένου αριθμού κλειστών συνόλων πρέπει να είναι κλειστή. (Ο δεύτερος κανόνας λειτουργεί μόνο για πεπερασμένο αριθμό κλειστών συνόλων. Αυτό συμβαίνει επειδή σε πολλές περιπτώσεις ένα σύνολο που περιέχει ένα μόνο σημείο είναι κλειστό. Κάθε σύνολο αποτελείται από σημεία. Αν ο δεύτερος κανόνας ίσχυε για άπειρο αριθμό κλειστών συνόλων, τότε κάθε σύνολο θα ήταν κλειστό). Ως ειδική περίπτωση, το σύνολο που περιέχει κάθε σημείο είναι και ανοικτό και κλειστό. Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα σημείο είναι επίσης και ανοικτό και κλειστό.
Ένα σύνολο σημείων μπορεί να έχει πολλούς διαφορετικούς ορισμούς για το τι είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Κάποιος μπορεί να θεωρήσει μόνο ορισμένα σύνολα ως ανοικτά ή περισσότερα σύνολα ως ανοικτά. Μπορεί ακόμη και κάθε σύνολο να θεωρείται ανοικτό. Το ίδιο σύνολο με διαφορετικούς ορισμούς των ανοικτών συνόλων σχηματίζει διαφορετικούς τοπολογικούς χώρους.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι ο τοπολογικός χώρος;
A: Ένας τοπολογικός χώρος είναι ένα σύνολο σημείων μαζί με έναν τρόπο να γνωρίζουμε ποια πράγματα είναι κοντά μεταξύ τους. Μελετάται στα μαθηματικά της δομής των σχημάτων.
Q: Τι είναι τα ανοικτά σύνολα;
Α: Τα ανοικτά σύνολα είναι σημαντικά επειδή επιτρέπουν να μιλάμε για σημεία κοντά σε ένα άλλο σημείο, που ονομάζεται γειτονιά του σημείου. Ορίζονται ως ορισμένα είδη συνόλων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό γειτονιών με καλό τρόπο.
Ερ: Τι πρέπει να ακολουθούν τα ανοικτά σύνολα;
Α: Τα ανοικτά σύνολα πρέπει να ακολουθούν ορισμένους κανόνες, ώστε να ταιριάζουν με τις ιδέες μας για τη γειτνίαση. Η ένωση οποιουδήποτε αριθμού ανοικτών συνόλων πρέπει να είναι ανοικτή και η ένωση πεπερασμένου αριθμού κλειστών συνόλων πρέπει να είναι κλειστή.
Ερ: Ποια είναι η ειδική περίπτωση για τα ανοικτά και κλειστά σύνολα;
Α: Η ειδική περίπτωση τόσο για τα ανοικτά όσο και για τα κλειστά σύνολα είναι ότι το σύνολο που περιέχει κάθε σημείο είναι και ανοικτό και κλειστό, καθώς και το σύνολο που δεν περιέχει κανένα σημείο είναι και ανοικτό και κλειστό.
Ερ: Πώς επηρεάζουν οι διαφορετικοί ορισμοί τους τοπολογικούς χώρους;
Α: Διαφορετικοί ορισμοί για το τι είναι ένα ανοικτό σύνολο μπορεί να επηρεάσουν τους τοπολογικούς χώρους θεωρώντας μόνο ορισμένα σύνολα ως ανοικτά ή περισσότερα από το συνηθισμένο, ή ακόμη θεωρώντας κάθε σύνολο ανοικτό.
Ερ: Μπορούν άπειροι αριθμοί κλειστών συνόλων να σχηματίσουν οποιοδήποτε σύνολο;
Α: Όχι, αν επιτρεπόταν άπειροι αριθμοί κλειστών συνόλων τότε κάθε σύνολο θα θεωρούνταν κλειστό αφού κάθε σύνολο αποτελείται μόνο από σημεία.
