Ο μετασχηματισμός κυματιδίων είναι μια αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας ενός σήματος. Για παράδειγμα, τον χρησιμοποιούμε για τη μείωση του θορύβου, την εξαγωγή χαρακτηριστικών ή τη συμπίεση σήματος.

Ο μετασχηματισμός κυματιδίου συνεχούς σήματος ορίζεται ως εξής

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

όπου

  • ψ {\displaystyle \psi } \psi είναι το λεγόμενο μητρικό wavelet,
  • a {\displaystyle a}a δηλώνει τη διαστολή κυματιδίων,
  • b {\displaystyle b}{\displaystyle b} δηλώνει τη χρονική μετατόπιση του wavelet και
  • Το σύμβολο ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} δηλώνει σύμπλοκο συζυγές.

Στην περίπτωση a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} και b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}, όπου a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} και m{\displaystyle T>0} {\displaystyle m} και km {\displaystyle k} είναι kακέραιες σταθερές, ο μετασχηματισμός wavelet ονομάζεται διακριτός μετασχηματισμός wavelet (συνεχούς σήματος).

Στην περίπτωση a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} και b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}, όπου m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}, ο διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίων ονομάζεται δυαδικός. Ορίζεται ως

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

όπου

  • m {\displaystyle m}m είναι η κλίμακα συχνότητας,
  • k {\displaystyle k}k είναι η χρονική κλίμακα και
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} είναι σταθερά που εξαρτάται από το μητρικό κυματίδιο.

Είναι δυνατόν να ξαναγράψουμε τον δυαδικό διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίων ως εξής

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

όπου h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} είναι η χαρακτηριστική παλμού του συνεχούς φίλτρου που ταυτίζεται με ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} για δεδομένο m {\displaystyle m}m .

Αντίστοιχα, ο δυαδικός μετασχηματισμός κυματιδίων με διακριτό χρόνο (διακριτού σήματος) ορίζεται ως εξής