Μετασχηματισμός κυματιδίων

Ο μετασχηματισμός κυματιδίων είναι μια αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας ενός σήματος. Για παράδειγμα, τον χρησιμοποιούμε για τη μείωση του θορύβου, την εξαγωγή χαρακτηριστικών ή τη συμπίεση σήματος.

Ο μετασχηματισμός κυματιδίου συνεχούς σήματος ορίζεται ως εξής

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

όπου

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ είναι το λεγόμενο μητρικό wavelet,
a {\displaystyle a} δηλώνει τη διαστολή κυματιδίων,
b {\displaystyle b} $b$ δηλώνει τη χρονική μετατόπιση του wavelet και
Το σύμβολο ∗ {\displaystyle *} $*$ δηλώνει σύμπλοκο συζυγές.

Στην περίπτωση a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ και b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} $b={a_{0}}^{m}kT$ , όπου a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} και m $T>0$ {\displaystyle m} και k {\displaystyle k} είναι ακέραιες σταθερές, ο μετασχηματισμός wavelet ονομάζεται διακριτός μετασχηματισμός wavelet (συνεχούς σήματος).

Στην περίπτωση a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ και b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , όπου m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , ο διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίων ονομάζεται δυαδικός. Ορίζεται ως

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

όπου

m {\displaystyle m} είναι η κλίμακα συχνότητας,
k {\displaystyle k} είναι η χρονική κλίμακα και
T {\displaystyle T} $T$ είναι σταθερά που εξαρτάται από το μητρικό κυματίδιο.

Είναι δυνατόν να ξαναγράψουμε τον δυαδικό διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίων ως εξής

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

όπου h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ είναι η χαρακτηριστική παλμού του συνεχούς φίλτρου που ταυτίζεται με ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ για δεδομένο m {\displaystyle m} .

Αντίστοιχα, ο δυαδικός μετασχηματισμός κυματιδίων με διακριτό χρόνο (διακριτού σήματος) ορίζεται ως εξής

Συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίων σήματος κατανομής συχνότητας. Χρησιμοποιήθηκε symlet με 5 στιγμές φυγής.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι ο μετασχηματισμός κυματιδίων;

A: Ο μετασχηματισμός κυματιδίων είναι μια αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας ενός σήματος που χρησιμοποιείται για τη μείωση του θορύβου, την εξαγωγή χαρακτηριστικών ή τη συμπίεση σήματος.

Ερ: Πώς ορίζεται ο μετασχηματισμός κυματιδίων συνεχών σημάτων;

Α: Ο μετασχηματισμός κυματιδίων συνεχών σημάτων ορίζεται ως ένα ολοκλήρωμα επί όλων των τιμών μιας συνάρτησης πολλαπλασιασμένο με ένα μητρικό κυματίδιο, όπου οι παράμετροι "α" και "β" δηλώνουν τη διαστολή και τη χρονική μετατόπιση αντίστοιχα.

Ερ: Τι είναι οι δυαδικοί διακριτοί μετασχηματισμοί κυματιδίων;

Α: Οι δυαδικοί διακριτοί μετασχηματισμοί κυματιδίων είναι διακριτές εκδοχές των κανονικών διακριτών μετασχηματισμών κυματιδίων με κλίμακα συχνότητας "m", κλίμακα χρόνου "k" και σταθερά "T". Μπορούν να ξαναγραφούν ως ένα ολοκλήρωμα επί όλων των τιμών μιας συνάρτησης πολλαπλασιασμένο με ένα χαρακτηριστικό φίλτρο παλμού το οποίο είναι πανομοιότυπο με το μητρικό κυματίδιο για δεδομένο m.

Ερ: Τι σημαίνει "μητρικό κυματίδιο" σε αυτό το πλαίσιο;

Α: Σε αυτό το πλαίσιο, ο όρος "mother wavelets" αναφέρεται σε συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με άλλες συναρτήσεις για να αποτελέσουν τη βάση για τον υπολογισμό ενός συγκεκριμένου τύπου μετασχηματισμού (στην προκειμένη περίπτωση, του μετασχηματισμού Wavelet).

Ερ: Πώς υπολογίζει κανείς τα δυαδικά διακριτά Wavelets;

Α: Τα δυαδικά διακριτά κυματίδια υπολογίζονται χρησιμοποιώντας ένα ολοκλήρωμα επί όλων των τιμών μιας συνάρτησης πολλαπλασιασμένο με ένα χαρακτηριστικό φίλτρο παλμού το οποίο είναι πανομοιότυπο με το μητρικό κυματίδιο για δεδομένο m. Επιπλέον, απαιτούν ως παραμέτρους την κλίμακα συχνότητας m, την κλίμακα χρόνου k και τη σταθερά T.

Ερ: Τι αντιπροσωπεύουν τα "a" και "b" κατά τον ορισμό των συνεχών Wavelets;

Α: Κατά τον ορισμό των συνεχών Wavelets, το "a" αντιπροσωπεύει τη διαστολή, ενώ το "b" αντιπροσωπεύει τη χρονική μετατόπιση.