Wavelet

Το Wavelet είναι μια μαθηματική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την καταγραφή μιας συνάρτησης ή ενός σήματος σε όρους άλλων συναρτήσεων που είναι απλούστερες στη μελέτη. Πολλές εργασίες επεξεργασίας σήματος μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμός κυματιδίου. Μιλώντας ανεπίσημα, το σήμα μπορεί να ιδωθεί κάτω από το φακό με μεγέθυνση που δίνεται από την κλίμακα του wavelet. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να δούμε μόνο την πληροφορία που καθορίζεται από το σχήμα του χρησιμοποιούμενου wavelet.

Ο αγγλικός όρος "wavelet" εισήχθη στις αρχές της δεκαετίας του 1980 από τους Γάλλους φυσικούς Jean Morlet και Alex Grossman. Χρησιμοποίησαν τη γαλλική λέξη "ondelette" (που σημαίνει "μικρό κύμα"). Αργότερα, η λέξη αυτή μεταφέρθηκε στα αγγλικά μεταφράζοντας το "onde" σε "wave" δίνοντας το "wavelet".

Το wavelet είναι (μιγαδική) συνάρτηση από το χώρο Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . Για πρακτικές εφαρμογές θα πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

Πρέπει να έχει πεπερασμένη ενέργεια.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Πρέπει να πληροί έναν όρο παραδεκτού.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, όπου ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} είναι ένας μετασχηματισμός Fourier του ψ {\displaystyle \psi \,} {\displaystyle \psi \,}

Η συνθήκη μηδενικού μέσου συνεπάγεται από τη συνθήκη παραδεκτού.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Η συνάρτηση ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} ονομάζεται μητρικό κυματίδιο. Η μεταφρασμένη (μετατοπισμένη) και η διευρυμένη (κλιμακωτή) κανονικοποιημένη εκδοχή της ορίζονται ως εξής.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Το αρχικό μητρικό wavelet έχει παραμέτρους a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} και b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . Η μετάθεση περιγράφεται από την παράμετρο b {\displaystyle b}{\displaystyle b} και η διαστολή από την παράμετρο a {\displaystyle a}a.

Morlet wavelet
Morlet wavelet


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3