Wavelet

Το Wavelet είναι μια μαθηματική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την καταγραφή μιας συνάρτησης ή ενός σήματος σε όρους άλλων συναρτήσεων που είναι απλούστερες στη μελέτη. Πολλές εργασίες επεξεργασίας σήματος μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμός κυματιδίου. Μιλώντας ανεπίσημα, το σήμα μπορεί να ιδωθεί κάτω από το φακό με μεγέθυνση που δίνεται από την κλίμακα του wavelet. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να δούμε μόνο την πληροφορία που καθορίζεται από το σχήμα του χρησιμοποιούμενου wavelet.

Ο αγγλικός όρος "wavelet" εισήχθη στις αρχές της δεκαετίας του 1980 από τους Γάλλους φυσικούς Jean Morlet και Alex Grossman. Χρησιμοποίησαν τη γαλλική λέξη "ondelette" (που σημαίνει "μικρό κύμα"). Αργότερα, η λέξη αυτή μεταφέρθηκε στα αγγλικά μεταφράζοντας το "onde" σε "wave" δίνοντας το "wavelet".

Το wavelet είναι (μιγαδική) συνάρτηση από το χώρο Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Για πρακτικές εφαρμογές θα πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

Πρέπει να έχει πεπερασμένη ενέργεια.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Πρέπει να πληροί έναν όρο παραδεκτού.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , όπου ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ είναι ένας μετασχηματισμός Fourier του ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Η συνθήκη μηδενικού μέσου συνεπάγεται από τη συνθήκη παραδεκτού.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Η συνάρτηση ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ ονομάζεται μητρικό κυματίδιο. Η μεταφρασμένη (μετατοπισμένη) και η διευρυμένη (κλιμακωτή) κανονικοποιημένη εκδοχή της ορίζονται ως εξής.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Το αρχικό μητρικό wavelet έχει παραμέτρους a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ και b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Η μετάθεση περιγράφεται από την παράμετρο b {\displaystyle b} $b$ και η διαστολή από την παράμετρο a {\displaystyle a}.

Morlet wavelet

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι ένα wavelet;

A: Ένα wavelet είναι μια μαθηματική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την καταγραφή μιας συνάρτησης ή ενός σήματος σε όρους άλλων συναρτήσεων που είναι απλούστερες στη μελέτη. Μπορεί να ειδωθεί κάτω από το φακό με μεγέθυνση που δίνεται από την κλίμακα του κυματιδίου, επιτρέποντάς μας να δούμε μόνο την πληροφορία που καθορίζεται από το σχήμα του.

Ερώτηση: Ποιος εισήγαγε τον όρο "wavelet";

A: Ο αγγλικός όρος "wavelet" εισήχθη στις αρχές της δεκαετίας του 1980 από τους Γάλλους φυσικούς Jean Morlet και Alex Grossman, οι οποίοι χρησιμοποίησαν τη γαλλική λέξη "ondelette" (που σημαίνει "μικρό κύμα"). Αργότερα, η λέξη αυτή μεταφέρθηκε στα αγγλικά μεταφράζοντας το "onde" σε "wave", δίνοντάς μας το "wavelet".

Ερ: Τι πρέπει να ικανοποιεί ένα wavelet για πρακτικές εφαρμογές;

A: Για πρακτικές εφαρμογές, ένα wavelet πρέπει να έχει πεπερασμένη ενέργεια και να ικανοποιεί μια συνθήκη αποδοχής. Αυτή η συνθήκη αποδοχής δηλώνει ότι πρέπει να έχει μηδενική μέση τιμή και επίσης να ικανοποιεί ένα ολοκλήρωμα επί της συχνότητας που είναι μικρότερο από το άπειρο.

Ερ: Τι εννοείται με τις έννοιες μετάθεση και διαστολή όταν αναφερόμαστε σε κυματίδια;

Α: Η μετάφραση αναφέρεται στη μετατόπιση ή μετακίνηση του μητρικού κυματιδίου κατά μήκος του άξονα του χρόνου, ενώ η διαστολή αναφέρεται στην κλιμάκωση ή το τέντωμα/συρρίκνωση του μητρικού κυματιδίου κατά μήκος του άξονα του χρόνου. Αυτές οι δύο παράμετροι (μετάθεση & διαστολή) περιγράφονται από τις b & a αντίστοιχα.

Ερ: Τι σημαίνει ότι ένα κυματίδιο έχει μηδενική μέση τιμή;

Α: Μηδενική μέση τιμή σημαίνει ότι όταν ολοκληρώνουμε όλες τις τιμές του t από το αρνητικό άπειρο έως το θετικό άπειρο, τότε το άθροισμα πρέπει να είναι ίσο με 0, δηλαδή ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Η απαίτηση αυτή προκύπτει από την ίδια τη συνθήκη του παραδεκτού, όπως αναφέρθηκε παραπάνω.

Ερ: Πώς ορίζονται τα μητρικά wavelets;

Α: Τα μητρικά κυματογραφήματα ορίζονται ως κανονικοποιημένες εκδοχές της μεταφρασμένης (μετατοπισμένης) και της διασταλμένης (κλιμακωτής) εκδοχής των αρχικών μητρικών κυματογραφημάτων που έχουν παραμέτρους 'a' = 1 & 'b' = 0 .