Τα παράδοξα του Ζήνωνα

Στο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, ο Αχιλλέας βρίσκεται σε έναν αγώνα δρόμου με τη χελώνα. Ο Αχιλλέας δίνει στη χελώνα προβάδισμα 100 μέτρων, για παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι κάθε δρομέας ξεκινά να τρέχει με σταθερή ταχύτητα, ο ένας πολύ γρήγορα και ο άλλος πολύ αργά. Μετά από κάποιο πεπερασμένο χρονικό διάστημα, ο Αχιλλέας θα έχει τρέξει 100 μέτρα, φτάνοντας στο σημείο εκκίνησης της χελώνας. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου, η πιο αργή χελώνα έχει διανύσει μια πολύ μικρότερη απόσταση. Στη συνέχεια, ο Αχιλλέας θα χρειαστεί λίγο περισσότερο χρόνο για να διανύσει αυτή την απόσταση, οπότε η χελώνα θα έχει προχωρήσει περισσότερο. Στη συνέχεια, ο Αχιλλέας θα χρειαστεί ακόμα περισσότερο χρόνο για να φτάσει σε αυτό το τρίτο σημείο, ενώ η χελώνα θα προχωρήσει και πάλι μπροστά. Έτσι, κάθε φορά που ο Αχιλλέας φτάνει κάπου που έχει πάει η χελώνα, έχει ακόμα περισσότερο δρόμο να διανύσει. Επομένως, επειδή υπάρχει άπειρος αριθμός σημείων στα οποία πρέπει να φτάσει ο Αχιλλέας, όπου έχει ήδη πάει η χελώνα, δεν μπορεί ποτέ να προσπεράσει τη χελώνα.

Ας υποθέσουμε ότι κάποιος επιθυμεί να πάει από το σημείο Α στο σημείο Β. Πρώτα πρέπει να διανύσει τη μισή διαδρομή. Στη συνέχεια, πρέπει να διανύσει τη μισή από την υπόλοιπη διαδρομή. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, θα απομένει πάντα κάποια μικρή απόσταση και ο στόχος δεν θα επιτευχθεί ποτέ στην πραγματικότητα. Θα υπάρχει πάντα ένας άλλος αριθμός για να προσθέσετε σε μια σειρά όπως 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... Έτσι, η κίνηση από οποιοδήποτε σημείο Α σε οποιοδήποτε διαφορετικό σημείο Β θεωρείται αδύνατη.

Εδώ λοιπόν βρίσκεται το παράδοξο του Ζήνωνα: και οι δύο εικόνες της πραγματικότητας δεν μπορούν να είναι αληθινές ταυτόχρονα. Επομένως, είτε: 1. Κάτι δεν πάει καλά με τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τη συνεχή φύση του χρόνου, 2. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει κάτι τέτοιο όπως ένα διακριτό, ή αυξητικό, ποσό χρόνου, απόστασης, ή ίσως οτιδήποτε άλλο για αυτό το θέμα, ή 3. Υπάρχει μια τρίτη εικόνα της πραγματικότητας που ενοποιεί τις δύο εικόνες - τη μαθηματική και την κοινή λογική ή τη φιλοσοφική - την οποία δεν έχουμε ακόμη τα εργαλεία για να κατανοήσουμε πλήρως.

Λίγοι άνθρωποι θα στοιχημάτιζαν ότι η χελώνα θα κέρδιζε τον αγώνα ενάντια σε έναν αθλητή. Όμως, ποιο είναι το λάθος με το επιχείρημα;

Καθώς κάποιος αρχίζει να προσθέτει τους όρους της σειράς 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., μπορεί να παρατηρήσει ότι το άθροισμα πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 1 και δεν θα ξεπεράσει ποτέ το 1. Ο Αριστοτέλης (που είναι η πηγή για πολλά από όσα γνωρίζουμε για τον Ζήνωνα) σημείωσε ότι καθώς η απόσταση (στο παράδοξο της διχοτομίας) μειώνεται, ο χρόνος για να διανύσει κάθε απόσταση γίνεται εξαιρετικά μικρότερος και μικρότερος. Πριν από το 212 π.Χ., ο Αρχιμήδης είχε αναπτύξει μια μέθοδο για την εξαγωγή μιας πεπερασμένης απάντησης για το άθροισμα απείρως πολλών όρων που γίνονται προοδευτικά μικρότεροι (όπως 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Ο σύγχρονος λογισμός επιτυγχάνει το ίδιο αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας πιο αυστηρές μεθόδους.

Ορισμένοι μαθηματικοί, όπως ο w:Carl Boyer, θεωρούν ότι τα παράδοξα του Ζήνωνα είναι απλώς μαθηματικά προβλήματα, για τα οποία ο σύγχρονος λογισμός παρέχει μια μαθηματική λύση. Ωστόσο, τα ερωτήματα του Ζήνωνα παραμένουν προβληματικά αν προσεγγίσει κανείς μια άπειρη σειρά βημάτων, ένα βήμα τη φορά. Αυτό είναι γνωστό ως υπεραναζήτηση. Ο λογισμός δεν περιλαμβάνει στην πραγματικότητα την πρόσθεση αριθμών ένα προς ένα. Αντίθετα, προσδιορίζει την τιμή (που ονομάζεται όριο) την οποία προσεγγίζει η πρόσθεση.

Δείτε τα άρθρα της αγγλικής Βικιπαίδειας

• Τα παράδοξα του Ζήνωνα
• Η τετραγωνική της παραβολής
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Λαμπτήρας Thompson