Λογισμός

Ιστορία

Στις δεκαετίες του 1670 και 1680, ο Σερ Ισαάκ Νεύτων στην Αγγλία και ο Γκότφριντ Λάιμπνιτς στη Γερμανία ανακάλυψαν τον λογισμό ταυτόχρονα, δουλεύοντας ο ένας χωριστά από τον άλλον. Ο Νεύτωνας ήθελε να έχει έναν νέο τρόπο να προβλέπει πού θα βλέπει τους πλανήτες στον ουρανό, επειδή η αστρονομία ήταν ανέκαθεν μια δημοφιλής και χρήσιμη μορφή επιστήμης και η γνώση περισσότερων πληροφοριών για τις κινήσεις των αντικειμένων στον νυχτερινό ουρανό ήταν σημαντική για την πλοήγηση των πλοίων. Ο Λάιμπνιτς ήθελε να μετρήσει τον χώρο (το εμβαδόν) κάτω από μια καμπύλη (μια γραμμή που δεν είναι ευθεία). Πολλά χρόνια αργότερα, οι δύο άνδρες διαφωνούσαν για το ποιος το ανακάλυψε πρώτος. Οι επιστήμονες από την Αγγλία υποστήριξαν τον Νεύτωνα, αλλά οι επιστήμονες από την υπόλοιπη Ευρώπη υποστήριξαν τον Λάιμπνιτς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί σήμερα συμφωνούν ότι και οι δύο άνδρες μοιράζονται εξίσου τα εύσημα. Ορισμένα μέρη του σύγχρονου λογισμού προέρχονται από τον Νεύτωνα, όπως οι χρήσεις του στη φυσική. Άλλα μέρη προέρχονται από τον Λάιμπνιτς, όπως τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τη γραφή του.

Δεν ήταν οι πρώτοι άνθρωποι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά για να περιγράψουν τον φυσικό κόσμο - ο Αριστοτέλης και ο Πυθαγόρας είχαν προηγηθεί, όπως και ο Γαλιλαίος Γαλιλέι, ο οποίος είπε ότι τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης. Αλλά τόσο ο Νεύτωνας όσο και ο Λάιμπνιτς ήταν οι πρώτοι που σχεδίασαν ένα σύστημα που περιγράφει πώς τα πράγματα αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου και μπορεί να προβλέψει πώς θα αλλάξουν στο μέλλον.

Η ονομασία "calculus" ήταν η λατινική λέξη για μια μικρή πέτρα που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Ρωμαίοι για να μετράνε και να παίζουν τυχερά παιχνίδια. Η αγγλική λέξη "calculate" προέρχεται από την ίδια λατινική λέξη.

Διαφορικός λογισμός

Ο διαφορικός λογισμός χρησιμοποιείται για την εύρεση του ρυθμού μεταβολής μιας μεταβλητής σε σχέση με μια άλλη μεταβλητή.

Στον πραγματικό κόσμο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της ταχύτητας ενός κινούμενου αντικειμένου ή για την κατανόηση της λειτουργίας του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού. Είναι πολύ σημαντική για την κατανόηση της φυσικής και πολλών άλλων τομέων της επιστήμης.

Ο διαφορικός λογισμός είναι επίσης χρήσιμος για τη γραφική παράσταση. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της κλίσης μιας καμπύλης και των υψηλότερων και χαμηλότερων σημείων (αυτά ονομάζονται μέγιστο και ελάχιστο) μιας καμπύλης.

Οι μεταβλητές μπορούν να αλλάξουν την τιμή τους. Αυτό διαφέρει από τους αριθμούς, διότι οι αριθμοί είναι πάντα ίδιοι. Για παράδειγμα, ο αριθμός 1 είναι πάντα ίσος με 1 και ο αριθμός 200 είναι πάντα ίσος με 200. Συχνά γράφετε τις μεταβλητές ως γράμματα, όπως το γράμμα x. Το "X" μπορεί να είναι ίσο με 1 σε ένα σημείο και 200 σε ένα άλλο σημείο.

Μερικά παραδείγματα μεταβλητών είναι η απόσταση και ο χρόνος, επειδή μπορούν να μεταβληθούν. Η ταχύτητα ενός αντικειμένου είναι η απόσταση που διανύει σε συγκεκριμένο χρόνο. Έτσι, αν μια πόλη απέχει 80 χιλιόμετρα (50 μίλια) και ένα άτομο με αυτοκίνητο φτάνει εκεί σε μία ώρα, έχει ταξιδέψει με μέση ταχύτητα 80 χιλιόμετρα (50 μίλια) την ώρα. Αλλά αυτός είναι μόνο ένας μέσος όρος - ίσως να ταξίδεψαν πιο γρήγορα σε ορισμένες στιγμές (σε έναν αυτοκινητόδρομο) και πιο αργά σε άλλες στιγμές (σε ένα φανάρι ή σε έναν μικρό δρόμο όπου ζουν άνθρωποι). Φανταστείτε έναν οδηγό που προσπαθεί να υπολογίσει την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου χρησιμοποιώντας μόνο το οδόμετρο (μετρητής απόστασης) και το ρολόι του, χωρίς ταχύμετρο!

Μέχρι να εφευρεθεί ο λογισμός, ο μόνος τρόπος για να το υπολογίσει κανείς αυτό ήταν να κόψει το χρόνο σε όλο και μικρότερα κομμάτια, ώστε η μέση ταχύτητα κατά τη διάρκεια του μικρότερου χρόνου να πλησιάζει όλο και περισσότερο στην πραγματική ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή. Αυτή ήταν μια πολύ μακρά και δύσκολη διαδικασία και έπρεπε να γίνεται κάθε φορά που οι άνθρωποι ήθελαν να υπολογίσουν κάτι.

Ένα πολύ παρόμοιο πρόβλημα είναι η εύρεση της κλίσης (πόσο απότομη είναι) σε οποιοδήποτε σημείο μιας καμπύλης. Η κλίση μιας ευθείας γραμμής είναι εύκολο να υπολογιστεί - είναι απλά πόσο ανεβαίνει (y ή κατακόρυφη) διαιρούμενη με το πόσο διασχίζει (x ή οριζόντια). Σε μια καμπύλη, όμως, η κλίση είναι μεταβλητή (έχει διαφορετικές τιμές σε διαφορετικά σημεία), επειδή η ευθεία κάμπτεται. Αλλά αν η καμπύλη ήταν να κοπεί σε πολύ, πολύ μικρά κομμάτια, η καμπύλη στο σημείο θα έμοιαζε σχεδόν με μια πολύ σύντομη ευθεία γραμμή. Έτσι, για να υπολογίσουμε την κλίση της, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω του σημείου με την ίδια κλίση με την καμπύλη στο σημείο αυτό. Αν γίνει ακριβώς σωστά, η ευθεία θα έχει την ίδια κλίση με την καμπύλη και ονομάζεται εφαπτομένη. Αλλά δεν υπάρχει κανένας τρόπος να γνωρίζουμε (χωρίς πολύ περίπλοκα μαθηματικά) αν η εφαπτομένη είναι ακριβώς σωστή, και τα μάτια μας δεν είναι αρκετά ακριβή ώστε να είμαστε σίγουροι αν είναι ακριβής ή απλώς πολύ κοντά.

Αυτό που βρήκαν ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς ήταν ένας τρόπος να υπολογίσουν την κλίση (ή την ταχύτητα στο παράδειγμα της απόστασης) με ακρίβεια, χρησιμοποιώντας απλούς και λογικούς κανόνες. Χώρισαν την καμπύλη σε έναν άπειρο αριθμό πολύ μικρών κομματιών. Στη συνέχεια επέλεξαν σημεία σε κάθε πλευρά του εύρους που τους ενδιέφερε και επεξεργάστηκαν εφαπτόμενες σε κάθε ένα από αυτά. Καθώς τα σημεία πλησίαζαν μεταξύ τους προς το σημείο που τους ενδιέφερε, η κλίση προσέγγιζε μια συγκεκριμένη τιμή καθώς οι εφαπτόμενες πλησίαζαν την πραγματική κλίση της καμπύλης. Η συγκεκριμένη τιμή που πλησίαζε ήταν η πραγματική κλίση.

Ας πούμε ότι έχουμε μια συνάρτηση y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f είναι η συντομογραφία της συνάρτησης, οπότε αυτή η εξίσωση σημαίνει "το y είναι συνάρτηση του x". Αυτό μας λέει ότι το πόσο ψηλά είναι το y στον κατακόρυφο άξονα εξαρτάται από το τι είναι το x (ο οριζόντιος άξονας) εκείνη τη στιγμή. Για παράδειγμα, με την εξίσωση y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} , γνωρίζουμε ότι αν το x {\displaystyle x} είναι 1, τότε το y {\displaystyle y} θα είναι 1- αν το x {\displaystyle x} είναι 3, τότε το y {\displaystyle y} θα είναι 9- αν το x {\displaystyle x} είναι 20, τότε το y {\displaystyle y} θα είναι 400. Η παράγωγος που παράγεται με αυτή τη μέθοδο εδώ είναι x 2{\displaystyle 2x} , ή 2 πολλαπλασιασμένο με x {\displaystyle x} . Έτσι γνωρίζουμε χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσουμε καμία εφαπτομένη ότι σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , η παράγωγος, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (σημειωμένη με το σύμβολο του πρωτεύοντος), θα είναι x 2{\displaystyle 2x} σε κάθε σημείο. Αυτή η διαδικασία υπολογισμού μιας κλίσης με τη χρήση ορίων ονομάζεται διαφοροποίηση ή εύρεση της παραγώγου.

Ο τρόπος γραφής της παραγώγου στα μαθηματικά είναι f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. }

Ο Leibniz κατέληξε στο ίδιο αποτέλεσμα, αλλά ονόμασε h " d x {\displaystyle dx} ", που σημαίνει "σε σχέση με το x". Ονόμασε την προκύπτουσα αλλαγή στην f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", που σημαίνει "ένα μικρό ποσό του y". Ο συμβολισμός του Λάιμπνιτς χρησιμοποιείται από περισσότερα βιβλία επειδή είναι εύκολα κατανοητός όταν οι εξισώσεις γίνονται πιο περίπλοκες. Στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει αυτή τη βασική θεωρία για να φτιάξουν απλούς κανόνες άλγεβρας που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση της παραγώγου σχεδόν οποιασδήποτε συνάρτησης.

Σε μια καμπύλη, δύο διαφορετικά σημεία έχουν διαφορετικές κλίσεις. Η κόκκινη και η μπλε γραμμή είναι εφαπτόμενες στην καμπύλη.


Μια εικόνα που δείχνει τι σημαίνουν τα x και x + h στην καμπύλη.

Ολοκληρωτικός λογισμός

Ο ολοκληρωτικός λογισμός είναι η διαδικασία υπολογισμού του εμβαδού κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Ένα παράδειγμα είναι ο υπολογισμός της απόστασης που διανύει ένα αυτοκίνητο: αν γνωρίζετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε διάφορες χρονικές στιγμές και σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση αυτής της ταχύτητας, τότε η απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο θα είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση.

Ο τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να χωρίσετε το γράφημα σε πολλά πολύ μικρά κομμάτια και στη συνέχεια να σχεδιάσετε πολύ λεπτά ορθογώνια κάτω από κάθε κομμάτι. Καθώς τα ορθογώνια γίνονται όλο και πιο λεπτά, τα ορθογώνια καλύπτουν όλο και καλύτερα την περιοχή κάτω από το γράφημα. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι εύκολο να υπολογιστεί, οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό εμβαδόν όλων των ορθογωνίων. Για τα λεπτότερα ορθογώνια, αυτή η τιμή του συνολικού εμβαδού προσεγγίζει το εμβαδόν κάτω από το γράφημα. Η τελική τιμή του εμβαδού ονομάζεται ολοκλήρωμα της συνάρτησης.

Στα μαθηματικά, το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) από το a στο b, γράφεται ως ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Μπορούμε να προσεγγίσουμε το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη προσθέτοντας τα εμβαδά πολλών ορθογωνίων κάτω από την καμπύλη. Όσο περισσότερα ορθογώνια χρησιμοποιούμε, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγισή μας.


Η ολοκλήρωση αφορά την εύρεση των εμβαδών, δεδομένων των a, b και y = f(x).

Κύρια ιδέα του λογισμού

Η βασική ιδέα του λογισμού ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Αυτή η βασική ιδέα λέει ότι οι δύο διαδικασίες του λογισμού, ο διαφορικός και ο ολοκληρωτικός λογισμός, είναι αντίθετες. Δηλαδή, ένα άτομο μπορεί να χρησιμοποιήσει τον διαφορικό λογισμό για να αναιρέσει μια διαδικασία ολοκληρωτικού λογισμού. Επίσης, ένα άτομο μπορεί να χρησιμοποιήσει τον ολοκληρωτικό λογισμό για να αναιρέσει μια μέθοδο διαφορικού λογισμού. Αυτό είναι ακριβώς όπως όταν χρησιμοποιείτε τη διαίρεση για να "αναιρέσετε" τον πολλαπλασιασμό ή την πρόσθεση για να "αναιρέσετε" την αφαίρεση.

Με μία μόνο πρόταση, το θεμελιώδες θεώρημα έχει κάπως έτσι: "Η παράγωγος του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης f είναι η ίδια η συνάρτηση".

Άλλες χρήσεις του λογισμού

Ο λογισμός χρησιμοποιείται για να περιγράψει πράγματα που αλλάζουν, όπως τα πράγματα στη φύση. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παρουσίαση και την εκμάθηση όλων αυτών:

• Πώς κινούνται τα κύματα. Τα κύματα είναι πολύ σημαντικά στον φυσικό κόσμο. Για παράδειγμα, ο ήχος και το φως μπορούν να θεωρηθούν ως κύματα.
• Όπου η θερμότητα κινείται, όπως σε ένα σπίτι. Αυτό είναι χρήσιμο για την αρχιτεκτονική (οικοδόμηση σπιτιών), ώστε το σπίτι να είναι όσο το δυνατόν φθηνότερα θερμαινόμενο.
• Πώς δρουν πολύ μικρά πράγματα όπως τα άτομα.
• Πόσο γρήγορα θα πέσει κάτι, γνωστή και ως βαρύτητα.
• Πώς λειτουργούν οι μηχανές, γνωστή και ως μηχανική.
• Η πορεία της σελήνης καθώς κινείται γύρω από τη γη. Επίσης, η τροχιά της γης καθώς κινείται γύρω από τον ήλιο, και κάθε πλανήτη ή φεγγάρι που κινείται γύρω από οτιδήποτε στο διάστημα.