Μια εξαγωγή του συνδυασμένου νόμου των αερίων με χρήση μόνο στοιχειώδους άλγεβρας μπορεί να περιέχει εκπλήξεις. Για παράδειγμα, ξεκινώντας από τους τρεις εμπειρικούς νόμους
P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! } 
(1) Νόμος του Gay-Lussac, ο όγκος θεωρείται σταθερός
V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! } 
(2) Νόμος του Charles, η πίεση θεωρείται σταθερή
P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! } 
(3) Νόμος του Boyle, η θερμοκρασία θεωρείται σταθερή
όπου kV, kP και kT είναι οι σταθερές, μπορεί κανείς να πολλαπλασιάσει τις τρεις μαζί για να λάβει
P V P V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! } 
Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών και διαιρώντας με το Τ φαίνεται να προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα
P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\! } 
Ωστόσο, αν πριν από την εφαρμογή της παραπάνω διαδικασίας, απλώς αναδιατάξουμε τους όρους του νόμου του Boyle, kT = PV, τότε μετά την ακύρωση και την αναδιάταξη, έχουμε
k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! } 
το οποίο δεν είναι πολύ χρήσιμο, αν όχι παραπλανητικό.
Μια φυσική παραγώγιση, μεγαλύτερη σε διάρκεια αλλά πιο αξιόπιστη, ξεκινά με τη συνειδητοποίηση ότι η παράμετρος σταθερού όγκου στο νόμο του Gay-Lussac θα μεταβάλλεται καθώς ο όγκος του συστήματος μεταβάλλεται. Σε σταθερό όγκο V1 ο νόμος μπορεί να εμφανίζεται P = k1T, ενώ σε σταθερό όγκο V2 μπορεί να εμφανίζεται P = k2T. Συμβολίζοντας αυτόν τον "μεταβλητό σταθερό όγκο" με kV(V), ξαναγράψτε τον νόμο ως εξής
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! } 
(4)
Το ίδιο ισχύει και για τη σταθερά του νόμου του Καρόλου, η οποία μπορεί να ξαναγραφεί
V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! } 
(5)
Αναζητώντας την εύρεση του kV(V), δεν θα πρέπει να εξαλείψει κανείς αβασάνιστα το T μεταξύ (4) και (5), δεδομένου ότι το P μεταβάλλεται στην πρώτη περίπτωση, ενώ θεωρείται σταθερό στη δεύτερη. Αντίθετα, θα πρέπει πρώτα να προσδιοριστεί με ποια έννοια οι εξισώσεις αυτές είναι συμβατές μεταξύ τους. Για να αποκτήσουμε εικόνα για αυτό, υπενθυμίζουμε ότι δύο οποιεσδήποτε μεταβλητές καθορίζουν την τρίτη. Επιλέγοντας ότι οι P και V είναι ανεξάρτητες, φανταζόμαστε τις τιμές T να σχηματίζουν μια επιφάνεια πάνω από το επίπεδο PV. Μια ορισμένη V0 και P0 ορίζουν ένα T0, ένα σημείο σε αυτή την επιφάνεια. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στις (4) και (5) και αναδιατάσσοντας, προκύπτει
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}} 
Δεδομένου ότι και οι δύο αυτές εκφράσεις περιγράφουν τι συμβαίνει στο ίδιο σημείο της επιφάνειας, οι δύο αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να εξισωθούν και να αναδιαταχθούν.
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}},\! } 
(6)
Σημειώστε ότι 1/kV(V0) και 1/kP(P0) είναι οι κλίσεις των ορθογωνίων ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα P/V και διέρχονται από το συγκεκριμένο σημείο της επιφάνειας πάνω από το επίπεδο PV. Ο λόγος των κλίσεων αυτών των δύο ευθειών εξαρτάται μόνο από την τιμή του P0/V0 στο σημείο αυτό.
Σημειώστε ότι η λειτουργική μορφή της (6) δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο σημείο που επιλέγεται. Ο ίδιος τύπος θα προέκυπτε για οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό τιμών P και V. Επομένως, μπορεί κανείς να γράψει
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} 
(7)
Αυτό λέει ότι κάθε σημείο της επιφάνειας έχει το δικό του ζεύγος ορθογωνίων ευθειών που το διαπερνούν, με το λόγο κλίσης τους να εξαρτάται μόνο από το συγκεκριμένο σημείο. Ενώ η (6) είναι μια σχέση μεταξύ συγκεκριμένων κλίσεων και τιμών μεταβλητών, η (7) είναι μια σχέση μεταξύ συναρτήσεων κλίσεων και μεταβλητών συναρτήσεων. Ισχύει για κάθε σημείο της επιφάνειας, δηλαδή για κάθε και όλους τους συνδυασμούς των τιμών P και V. Για να λύσετε αυτή την εξίσωση για τη συνάρτηση kV(V), διαχωρίστε πρώτα τις μεταβλητές, V στα αριστερά και P στα δεξιά.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} 
Επιλέξτε οποιαδήποτε πίεση P1. Η δεξιά πλευρά αποτιμάται σε κάποια αυθαίρετη τιμή, ονομάστε την karb.
V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! } 
(8)
Αυτή η συγκεκριμένη εξίσωση πρέπει τώρα να ισχύει, όχι μόνο για μια τιμή του V, αλλά για όλες τις τιμές του V. Ο μόνος ορισμός του kV(V) που το εγγυάται αυτό για όλα τα V και αυθαίρετα karb είναι ο εξής
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} 
(9)
το οποίο μπορεί να επαληθευτεί με αντικατάσταση στο (8).
Τέλος, αντικαθιστώντας την (9) στο νόμο του Gay-Lussac (4) και αναδιατάσσοντας προκύπτει ο συνδυασμένος νόμος των αερίων
P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! } 
Σημειώστε ότι ενώ ο νόμος του Boyle δεν χρησιμοποιήθηκε σε αυτή την εξαγωγή, προκύπτει εύκολα από το αποτέλεσμα. Σε γενικές γραμμές, οποιοιδήποτε δύο από τους τρεις νόμους εκκίνησης είναι το μόνο που απαιτείται σε αυτού του είδους την παραγώγιση - όλα τα ζεύγη εκκίνησης οδηγούν στον ίδιο συνδυασμένο νόμο αερίων.
