Αριθμός Φερμά

Ο αριθμός Fermat είναι ένας ειδικός θετικός αριθμός. Οι αριθμοί Fermat πήραν το όνομά τους από τον Pierre de Fermat. Ο τύπος που τους παράγει είναι

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

όπου n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. Οι εννέα πρώτοι αριθμοί Fermat είναι (ακολουθία A000215 στο OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Μέχρι το 2007, μόνο οι πρώτοι 12 αριθμοί Φερμά έχουν υπολογιστεί πλήρως. (γραμμένοι ως γινόμενο πρώτων αριθμών) Αυτές οι παραγοντοποιήσεις μπορούν να βρεθούν στο Prime Factors of Fermat Numbers.

Αν το 2n + 1 είναι πρώτος αριθμός και n > 0, μπορεί να αποδειχθεί ότι το n πρέπει να είναι δύναμη του δύο. Κάθε πρώτος αριθμός της μορφής 2n + 1 είναι ένας αριθμός Fermat, και οι πρώτοι αυτοί αριθμοί ονομάζονται πρώτοι αριθμοί Fermat. Οι μόνοι γνωστοί πρώτοι Fermat είναι οι F0,...,F4.

Ενδιαφέροντα πράγματα για τους αριθμούς Fermat

Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί Fermat με κοινούς διαιρέτες.
Οι αριθμοί Fermat μπορούν να υπολογιστούν αναδρομικά: πολλαπλασιάστε όλους τους προηγούμενους αριθμούς Φερμά και προσθέστε δύο στο αποτέλεσμα.

Για τι χρησιμοποιούνται

Σήμερα, οι αριθμοί Φερμά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία τυχαίων αριθμών, μεταξύ 0 και κάποιας τιμής Ν, η οποία είναι δύναμη του 2.

Η εικασία του Φερμά

Ο Φερμά, όταν μελετούσε αυτούς τους αριθμούς, υπέθεσε ότι όλοι οι αριθμοί Φερμά ήταν πρώτοι. Αυτό αποδείχθηκε ότι ήταν λάθος από τον Leonhard Euler, ο οποίος παραγοντοποίησε τον F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ το 1732.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι ο αριθμός Φερμά;

A: Ο αριθμός Φερμά είναι ένας ειδικός θετικός αριθμός που πήρε το όνομά του από τον Πιερ ντε Φερμά. Παράγεται από τον τύπο F_n = 2^2^(n) + 1, όπου n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός.

Ερ: Πόσοι αριθμοί Φερμά υπάρχουν;

Α: Από το 2007, μόνο οι πρώτοι 12 αριθμοί Φερμά έχουν παραγοντοποιηθεί πλήρως.

Ερ: Ποιοι είναι οι εννέα πρώτοι αριθμοί Φερμά;

A: Οι εννέα πρώτοι αριθμοί Φερμά είναι οι εξής: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), και F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Ερ: Τι μπορούμε να πούμε για τους πρώτους αριθμούς της μορφής 2n + 1;

Α: Αν ο 2n + 1 είναι πρώτος και n > 0 τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι το n πρέπει να είναι δύναμη του δύο. Κάθε πρώτος αριθμός της μορφής 2n + 1 είναι επίσης ένας αριθμός Fermat και τέτοιοι πρώτοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι αριθμοί Fermat. Οι μόνοι γνωστοί πρώτοι αριθμοί Fermat είναι από 0 έως 4.

Ερώτηση: Πού μπορεί κανείς να βρει παραγοντοποιήσεις και για τους 12 γνωστούς παραγοντοποιημένους αριθμούςFermat;

Α: Παραγοντοποιήσεις και για τους 12 γνωστούς παραγοντοποιημένους αριθμούςFermat μπορεί να βρει κανείς στη διεύθυνση Prime Factors of Fermat Numbers.

Ερ: Ποιος ήταν ο Pierre de Fermaat;

A: Ο Pierre de Fermaat ήταν ένας σημαίνων Γάλλος μαθηματικός που έζησε τον 17ο αιώνα και του οποίου το έργο έθεσε πολλές από τις βάσεις για τα σύγχρονα μαθηματικά. Είναι περισσότερο γνωστός για τις συνεισφορές του στη θεωρία πιθανοτήτων και την αναλυτική γεωμετρία, καθώς και για το περίφημο Τελευταίο Θεώρημά του, το οποίο παρέμεινε άλυτο μέχρι το 1995, όταν τελικά αποδείχθηκε από τον Andrew Wiles χρησιμοποιώντας μεθόδους από την αλγεβρική γεωμετρία.