Αριθμός
Για το βιβλίο της Βίβλου, δείτε Αριθμοί (Βίβλος).
Ο αριθμός είναι μια έννοια από τα μαθηματικά, που χρησιμοποιείται για να μετρήσει ή να μετρήσει. Ανάλογα με τον τομέα των μαθηματικών, όπου χρησιμοποιούνται οι αριθμοί, υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί:
- Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν σύμβολα για να αναπαραστήσουν τους αριθμούς- τους αποκαλούν αριθμούς. Συνήθως οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για την επισήμανση, όπως στους τηλεφωνικούς αριθμούς, για την παραγγελία, όπως στους σειριακούς αριθμούς, ή για την τοποθέτηση ενός μοναδικού αναγνωριστικού, όπως στο ISBN, έναν μοναδικό αριθμό που μπορεί να ταυτοποιήσει ένα βιβλίο.
- Οι καρδιακοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν πόσα στοιχεία υπάρχουν σε ένα σύνολο. Το {A,B,C} έχει μέγεθος "3".
- Οι αύξοντες αριθμοί χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό ενός συγκεκριμένου στοιχείου σε ένα σύνολο ή μια ακολουθία (πρώτο, δεύτερο, τρίτο).
Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται επίσης για άλλα πράγματα όπως η μέτρηση. Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται όταν μετριούνται τα πράγματα. Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για τη μελέτη του τρόπου λειτουργίας του κόσμου. Τα μαθηματικά είναι ένας τρόπος να χρησιμοποιούμε τους αριθμούς για να μαθαίνουμε για τον κόσμο και να φτιάχνουμε πράγματα. Η μελέτη των κανόνων του φυσικού κόσμου ονομάζεται επιστήμη. Η εργασία που χρησιμοποιεί αριθμούς για να κατασκευάσει πράγματα ονομάζεται μηχανική.
Ένα παζλ Sudoku
Μέθοδοι αρίθμησης
Αριθμοί για ανθρώπους
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για την απόδοση συμβόλων σε αριθμούς. Αυτές οι μέθοδοι ονομάζονται αριθμητικά συστήματα. Το πιο συνηθισμένο σύστημα αριθμών που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι είναι το σύστημα αριθμών με βάση το δέκα. Το σύστημα αριθμών με βάση το δέκα ονομάζεται επίσης δεκαδικό σύστημα αριθμών. Το σύστημα αριθμών με βάση το δέκα είναι κοινό επειδή οι άνθρωποι έχουν δέκα δάχτυλα στα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Υπάρχουν 10 διαφορετικά σύμβολα {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9} που χρησιμοποιούνται στο σύστημα αριθμών της βάσης δέκα. Αυτά τα δέκα σύμβολα ονομάζονται ψηφία.
Το σύμβολο ενός αριθμού αποτελείται από αυτά τα δέκα ψηφία. Η θέση των ψηφίων δείχνει πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 23 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών σημαίνει πραγματικά (2 επί 10) συν 3, και 101 σημαίνει 1 επί εκατό (=100) συν 0 επί 10 (=0) συν 1 επί 1 (=1).
Αριθμοί για μηχανές
Ένα άλλο σύστημα αριθμών είναι πιο συνηθισμένο για τις μηχανές. Το σύστημα αριθμών μηχανών ονομάζεται δυαδικό σύστημα αριθμών. Το δυαδικό σύστημα αριθμών ονομάζεται επίσης σύστημα αριθμών βάσης δύο. Υπάρχουν δύο διαφορετικά σύμβολα (0 και 1) που χρησιμοποιούνται στο σύστημα αριθμών βάσης δύο. Τα δύο αυτά σύμβολα ονομάζονται bits.
Το σύμβολο ενός δυαδικού αριθμού αποτελείται από αυτά τα δύο σύμβολα bit. Η θέση των συμβόλων bit δείχνει πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών σημαίνει πραγματικά 1 επί 2 συν 0, και 101 σημαίνει 1 επί τέσσερα (=4) συν 0 επί δύο (=0) συν 1 επί 1 (=1). Ο δυαδικός αριθμός 10 είναι ο ίδιος με τον δεκαδικό αριθμό 2. Ο δυαδικός αριθμός 101 είναι ο ίδιος με τον δεκαδικό αριθμό 5.
Ονόματα αριθμών
Τα αγγλικά έχουν ειδικά ονόματα για ορισμένους από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αριθμών που είναι "δυνάμεις του δέκα". Όλοι αυτοί οι αριθμοί με δύναμη του δέκα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών χρησιμοποιούν μόνο το σύμβολο "1" και το σύμβολο "0". Για παράδειγμα, δέκα δεκάδες είναι το ίδιο με δέκα φορές το δέκα ή εκατό. Σε σύμβολα, αυτό είναι "10 × 10 = 100". Επίσης, δέκα εκατοντάδες είναι το ίδιο με δέκα φορές εκατό ή χίλια. Σε σύμβολα, αυτό είναι "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Ορισμένοι άλλοι αριθμοί με δύναμη του δέκα έχουν επίσης ειδικά ονόματα:
- 1 - ένα
- 10 - δέκα
- 100 - εκατό
- 1000 - χίλια
- 1.000.000 - ένα εκατομμύριο
Όταν έχουμε να κάνουμε με μεγαλύτερους αριθμούς από αυτόν, υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι να ονομάζουμε τους αριθμούς στα αγγλικά. Σύμφωνα με τη "μεγάλη κλίμακα" δίνεται ένα νέο όνομα κάθε φορά που ο αριθμός είναι ένα εκατομμύριο φορές μεγαλύτερος από τον αριθμό που ονομάστηκε τελευταία. Ονομάζεται επίσης "βρετανικό πρότυπο". Αυτή η κλίμακα ήταν συνηθισμένη στη Βρετανία, αλλά σήμερα δεν χρησιμοποιείται συχνά στις αγγλόφωνες χώρες. Χρησιμοποιείται ακόμη σε ορισμένα άλλα ευρωπαϊκά έθνη. Μια άλλη κλίμακα είναι η "σύντομη κλίμακα" σύμφωνα με την οποία δίνεται ένα νέο όνομα κάθε φορά που ένας αριθμός είναι χίλιες φορές μεγαλύτερος από τον τελευταίο ονομαζόμενο αριθμό. Αυτή η κλίμακα είναι πολύ πιο διαδεδομένη στα περισσότερα αγγλόφωνα έθνη σήμερα.
- 1.000.000.000 - ένα δισεκατομμύριο (μικρή κλίμακα), ένα δισεκατομμύριο (μεγάλη κλίμακα)
- 1.000.000.000.000.000 - ένα τρισεκατομμύριο (μικρή κλίμακα), ένα δισεκατομμύριο (μεγάλη κλίμακα)
- 1.000.000.000.000.000.000 - ένα τετράκις εκατομμύριο (μικρή κλίμακα), ένα δισεκατομμύριο (μεγάλη κλίμακα)
Τύποι αριθμών
Φυσικοί αριθμοί
Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που συνήθως χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 κ.λπ. Ορισμένοι λένε ότι και το 0 είναι φυσικός αριθμός.
Ένα άλλο όνομα για αυτούς τους αριθμούς είναι οι θετικοί αριθμοί. Αυτοί οι αριθμοί γράφονται μερικές φορές ως +1 για να δείξουν ότι είναι διαφορετικοί από τους αρνητικούς αριθμούς. Αλλά δεν είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί φυσικοί (για παράδειγμα 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 
είναι θετικός, αλλά όχι φυσικός).
Αν το 0 ονομάζεται φυσικός αριθμός, τότε οι φυσικοί αριθμοί είναι ίδιοι με τους ακέραιους αριθμούς. Αν το 0 δεν ονομάζεται φυσικός αριθμός, τότε οι φυσικοί αριθμοί είναι ίδιοι με τους αριθμούς μέτρησης. Έτσι, αν δεν χρησιμοποιούνται οι λέξεις "φυσικοί αριθμοί", τότε θα υπάρχει λιγότερη σύγχυση σχετικά με το αν το μηδέν περιλαμβάνεται ή όχι. Αλλά δυστυχώς, κάποιοι λένε ότι το μηδέν δεν είναι ούτε ακέραιος αριθμός, και κάποιοι λένε ότι οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να είναι αρνητικοί. Οι "θετικοί ακέραιοι αριθμοί" και οι "μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί" είναι ένας άλλος τρόπος για να συμπεριλάβετε το μηδέν ή να αποκλείσετε το μηδέν, αλλά μόνο αν οι άνθρωποι γνωρίζουν αυτές τις λέξεις.
Αρνητικοί αριθμοί
Οι αρνητικοί αριθμοί είναι αριθμοί μικρότεροι του μηδενός.
Ένας τρόπος για να σκεφτείτε τους αρνητικούς αριθμούς είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμογραμμή. Ονομάζουμε ένα σημείο αυτής της γραμμής μηδέν. Στη συνέχεια θα ονομάσουμε (θα γράψουμε το όνομα) κάθε θέση στη γραμμή με το πόσο δεξιά από το σημείο μηδέν βρίσκεται, για παράδειγμα το σημείο ένα είναι ένα εκατοστό δεξιά, το σημείο δύο είναι δύο εκατοστά δεξιά.
Σκεφτείτε τώρα ένα σημείο που βρίσκεται ένα εκατοστό αριστερά από το σημείο μηδέν. Δεν μπορούμε να ονομάσουμε αυτό το σημείο ένα, καθώς υπάρχει ήδη ένα σημείο που ονομάζεται ένα. Επομένως, ονομάζουμε αυτό το σημείο μείον 1 (-1) (καθώς απέχει ένα εκατοστό, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση).
Ένα σχέδιο μιας αριθμητικής γραμμής βρίσκεται παρακάτω.
Όλες οι συνήθεις πράξεις των μαθηματικών μπορούν να γίνουν με αρνητικούς αριθμούς:
Αν οι άνθρωποι προσθέσουν έναν αρνητικό αριθμό σε έναν άλλο, αυτό είναι το ίδιο με το να αφαιρούν τον θετικό αριθμό με τους ίδιους αριθμούς. Για παράδειγμα, το 5 + (-3) είναι το ίδιο με το 5 - 3 και ισούται με 2.
Αν αφαιρέσουν έναν αρνητικό αριθμό από έναν άλλο, αυτό είναι το ίδιο με την πρόσθεση του θετικού αριθμού με τους ίδιους αριθμούς. Για παράδειγμα, το 5 - (-3) είναι το ίδιο με το 5 + 3 και ισούται με 8.
Αν πολλαπλασιάσουν δύο αρνητικούς αριθμούς μαζί, θα πάρουν έναν θετικό αριθμό. Για παράδειγμα, -5 επί -3 είναι 15.
Αν πολλαπλασιάσουν έναν αρνητικό αριθμό με έναν θετικό αριθμό ή αν πολλαπλασιάσουν έναν θετικό αριθμό με έναν αρνητικό αριθμό, παίρνουν αρνητικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, 5 επί -3 είναι -15.
Καθώς η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού είναι αδύνατη, καθώς αρνητικό επί αρνητικό ισούται με possitve. Προσομοιώνουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού ως i.
Ακέραιοι αριθμοί
Ακέραιοι αριθμοί είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί, όλοι οι αντίθετοί τους και ο αριθμός μηδέν. Οι δεκαδικοί αριθμοί και τα κλάσματα δεν είναι ακέραιοι αριθμοί.
Λογικοί αριθμοί
Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να γραφούν ως α διαιρούμενο με β, όπου οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοι και το β δεν ισούται με το 0.
Ορισμένοι ορθολογικοί αριθμοί, όπως το 1/10, χρειάζονται έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά το δεκαδικό σημείο για να γραφούν σε δεκαδική μορφή. Ο αριθμός ένα δέκατο γράφεται σε δεκαδική μορφή ως 0,1. Οι αριθμοί που γράφονται με πεπερασμένη δεκαδική μορφή είναι ορθολογικοί. Ορισμένοι ορθολογικοί αριθμοί, όπως το 1/11, χρειάζονται άπειρο αριθμό ψηφίων μετά το δεκαδικό σημείο για να γραφούν σε δεκαδική μορφή. Υπάρχει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο στα ψηφία μετά το δεκαδικό σημείο. Ο αριθμός ένα ενδέκατο γράφεται σε δεκαδική μορφή ως 0,090909090909 ... .
Ένα ποσοστό θα μπορούσε να ονομαστεί ορθολογικός αριθμός, επειδή ένα ποσοστό όπως το 7% μπορεί να γραφτεί ως το κλάσμα 7/100. Μπορεί επίσης να γραφτεί ως δεκαδικός αριθμός 0,07. Μερικές φορές, ένας λόγος θεωρείται ως ορθολογικός αριθμός.
Λογικοί αριθμοί
Οι ανορθολογικοί αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα, αλλά δεν έχουν φανταστικά μέρη (εξηγείται αργότερα).
Οι άρρητοι αριθμοί εμφανίζονται συχνά στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, αν έχουμε ένα τετράγωνο που έχει πλευρές 1 μέτρου, η απόσταση μεταξύ των απέναντι γωνιών είναι η τετραγωνική ρίζα του δύο, η οποία ισούται με 1,414213 ... . Αυτός είναι ένας άρρητος αριθμός. Οι μαθηματικοί έχουν αποδείξει ότι η τετραγωνική ρίζα κάθε φυσικού αριθμού είναι είτε ακέραιος είτε άρρητος αριθμός.
Ένας γνωστός ανορθολογικός αριθμός είναι το π. Πρόκειται για την περιφέρεια (απόσταση γύρω) ενός κύκλου διαιρεμένη με τη διάμετρό του (απόσταση κατά μήκος). Ο αριθμός αυτός είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. Ο αριθμός π είναι περίπου 3,1415926535 ... .
Ένας άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί πλήρως σε δεκαδική μορφή. Θα είχε άπειρο αριθμό ψηφίων μετά το δεκαδικό σημείο. Σε αντίθεση με το 0,333333 ..., αυτά τα ψηφία δεν θα επαναλαμβάνονταν για πάντα.
Πραγματικοί αριθμοί
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα όνομα για όλα τα σύνολα αριθμών που αναφέρονται παραπάνω:
- Οι ορθολογικοί αριθμοί, συμπεριλαμβανομένων των ακεραίων
- Οι άρρητοι αριθμοί
Πρόκειται για όλους τους αριθμούς που δεν περιλαμβάνουν φανταστικούς αριθμούς.
Φανταστικοί αριθμοί
Οι φανταστικοί αριθμοί σχηματίζονται από πραγματικούς αριθμούς πολλαπλασιασμένους με τον αριθμό i. Ο αριθμός αυτός είναι η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα (-1).
Δεν υπάρχει κανένας αριθμός στους πραγματικούς αριθμούς ο οποίος όταν τετραγωνίζεται κάνει τον αριθμό -1. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί επινόησαν έναν αριθμό. Ονόμασαν αυτόν τον αριθμό i ή φανταστική μονάδα.
Οι φανταστικοί αριθμοί λειτουργούν σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες με τους πραγματικούς αριθμούς:
- Το άθροισμα δύο φανταστικών αριθμών βρίσκεται αφαιρώντας (παραγοντοποιώντας) το i. Για παράδειγμα, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
- Η διαφορά δύο φανταστικών αριθμών βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο. Για παράδειγμα, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
- Όταν πολλαπλασιάζετε δύο φανταστικούς αριθμούς, να θυμάστε ότι i × i (i 2) είναι -1. Για παράδειγμα, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.
Οι φανταστικοί αριθμοί ονομάστηκαν φανταστικοί επειδή όταν πρωτοβρέθηκαν, πολλοί μαθηματικοί δεν πίστευαν ότι υπήρχαν.[]Το άτομο που ανακάλυψε τους φανταστικούς αριθμούς ήταν ο Gerolamo Cardano τη δεκαετία του 1500. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε τις λέξεις φανταστικός αριθμός ήταν ο Ρενέ Ντεκάρτ. Οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν αυτούς τους αριθμούς ήταν ο Leonard Euler και ο CarlFriedrich Gauss. Και οι δύο έζησαν τον 18ο αιώνα.
Μιγαδικοί αριθμοί
Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι αριθμοί που έχουν δύο μέρη: ένα πραγματικό μέρος και ένα φανταστικό μέρος. Κάθε τύπος αριθμού που γράφεται παραπάνω είναι επίσης μιγαδικός αριθμός.
Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια πιο γενική μορφή αριθμών. Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να σχεδιαστούν σε ένα αριθμητικό επίπεδο. Αυτό αποτελείται από μια γραμμή πραγματικών αριθμών και μια γραμμή φανταστικών αριθμών.
3i|_ | | | 2i|_ . 2+2i | | | i|_ | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | | .-2-2i -2i|_ | | | -3i|_ |Όλα τα κανονικά μαθηματικά μπορούν να γίνουν με μιγαδικούς αριθμούς:
- Για να προσθέσετε δύο μιγαδικούς αριθμούς, προσθέστε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ξεχωριστά. Για παράδειγμα, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
- Για να αφαιρέσετε έναν μιγαδικό αριθμό από έναν άλλο, αφαιρέστε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ξεχωριστά. Για παράδειγμα, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.
Ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών είναι πολύπλοκος. Είναι ευκολότερο να περιγραφεί με γενικούς όρους, με δύο μιγαδικούς αριθμούς a + bi και c + di.
( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} } 
Για παράδειγμα, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.
Υπερβατικοί αριθμοί
Ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός ονομάζεται υπερβατικός αριθμός εάν δεν μπορεί να προκύψει ως αποτέλεσμα αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} 
Η απόδειξη ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι υπερβατικός μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολη. Κάθε υπερβατικός αριθμός είναι επίσης ένας παράλογος αριθμός. Οι πρώτοι που είδαν ότι υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί ήταν ο Gottfried Wilhelm Leibniz και ο Leonhard Euler. Ο πρώτος που απέδειξε ότι υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί ήταν ο Joseph Liouville. Το έκανε αυτό το 1844.
Γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί:
√2 είναι παράλογο.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι ένας αριθμός;
A: Ο αριθμός είναι μια έννοια από τα μαθηματικά που χρησιμοποιείται για την καταμέτρηση ή τη μέτρηση.
Ερ: Τι είναι οι αριθμοί;
Α: Οι αριθμοί είναι σύμβολα που αναπαριστούν αριθμούς.
Ερ: Πού χρησιμοποιούνται οι αριθμοί;
Α: Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται συνήθως για την επισήμανση, την ταξινόμηση και την τοποθέτηση μοναδικών αναγνωριστικών στοιχείων.
Ερ: Ποιος είναι ο σκοπός των αριθμητικών αριθμών;
Α: Οι καρδιακοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν πόσα στοιχεία υπάρχουν σε ένα σύνολο.
Ερ: Τι χρησιμεύουν οι τακτικοί αριθμοί;
Α: Οι αριθμοί τάξης προσδιορίζουν ένα συγκεκριμένο στοιχείο σε ένα σύνολο ή μια ακολουθία (πρώτο, δεύτερο, τρίτο).
Ερ: Πώς αλλιώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους αριθμούς;
Α: Οι αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την καταμέτρηση και τη μέτρηση πραγμάτων, καθώς και για τη μελέτη του τρόπου λειτουργίας του κόσμου μέσω των μαθηματικών και της μηχανικής.
