Ας υποθέσουμε ότι ο στόχος είναι να βρεθούν οι απαντήσεις σε αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} 
Πρώτον, το σύστημα πρέπει να μετατραπεί σε έναν επαυξημένο πίνακα. Σε έναν επαυξημένο πίνακα, κάθε γραμμική εξίσωση γίνεται μια γραμμή. Στη μία πλευρά του επαυξημένου πίνακα, οι συντελεστές κάθε όρου της γραμμικής εξίσωσης γίνονται αριθμοί στον πίνακα. Στην άλλη πλευρά του επαυξημένου πίνακα είναι οι σταθεροί όροι κάθε γραμμικής εξίσωσης. Για αυτό το σύστημα, ο επαυξημένος πίνακας είναι:
[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/c279270bdbca44706acb79d27400e78e087b08bc.svg)
Στη συνέχεια, μπορούν να γίνουν πράξεις γραμμής στον επαυξημένο πίνακα για την απλούστευσή του. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη διαδικασία αναγωγής γραμμών στο σύστημα εξισώσεων και στον επαυξημένο πίνακα.
| Σύστημα εξισώσεων | Λειτουργίες γραμμής | Επαυξημένος πίνακας |
| 2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}}  | | [ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} |
| 2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}}  | R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} 
R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}  | [ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/5c6b056393df5a20d26cc2a837d080876155353a.svg) |
| 2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}}  | R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}  | [ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/4795004b37edb67b30506b8148fa47a0a7f95106.svg) |
Ο πίνακας είναι τώρα σε μορφή row-echelon. Αυτή ονομάζεται επίσης τριγωνική μορφή.
| Σύστημα εξισώσεων | Λειτουργίες γραμμής | Επαυξημένος πίνακας |
| 2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}  | R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} 
R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}  | [ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/30d4e61eca6607a30b53dd0302c5f7c7bb1701f5.svg) |
| 2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}  | 2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} 
R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}  | [ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/404fbc9e271cb9afc77a915b607efdc350ae7e11.svg) |
| x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}  | R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} 
1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}  | [ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/d829fa7a9862dd6a11878142ed5715e56316ecb6.svg) |
Ο πίνακας είναι τώρα σε μορφή μειωμένης γραμμής-εκελόνων. Η ανάγνωση αυτού του πίνακα μας λέει ότι οι λύσεις για αυτό το σύστημα εξισώσεων εμφανίζονται όταν x = 2, y = 3 και z = -1.
