Γκαουσιανή απαλοιφή

Στα μαθηματικά, η απαλοιφή Γκάους (που ονομάζεται επίσης μείωση γραμμών) είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Πήρε το όνομά της από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, έναν διάσημο Γερμανό μαθηματικό που έγραψε για τη μέθοδο αυτή, αλλά δεν την εφηύρε.

Για την εκτέλεση της απαλοιφής Gauss, οι συντελεστές των όρων του συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία ενός τύπου πίνακα που ονομάζεται επαυξημένος πίνακας. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούνται στοιχειώδεις πράξεις γραμμής για την απλοποίηση του πίνακα. Οι τρεις τύποι πράξεων γραμμής που χρησιμοποιούνται είναι οι εξής:

Τύπος 1: Αλλαγή μιας γραμμής με μια άλλη γραμμή.

Τύπος 2: Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναν μη μηδενικό αριθμό.

Τύπος 3: Προσθήκη ή αφαίρεση μιας γραμμής από μια άλλη γραμμή.

Ο στόχος της απαλοιφής Γκάους είναι να λάβετε τον πίνακα σε μορφή γραμμής-εκελονίου. Εάν ένας πίνακας είναι σε μορφή row-echelon, αυτό σημαίνει ότι διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά, κάθε γραμμή θα ξεκινάει με τουλάχιστον έναν περισσότερο μηδενικό όρο από την γραμμή που βρίσκεται από πάνω της. Ορισμένοι ορισμοί της γκαουσιανής απαλοιφής λένε ότι το αποτέλεσμα του πίνακα πρέπει να είναι σε μειωμένη μορφή row-echelon. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας είναι σε μορφή row-echelon και ο μόνος μη μηδενικός όρος σε κάθε γραμμή είναι το 1. Η απαλοιφή Gauss που δημιουργεί ένα μειωμένο αποτέλεσμα πίνακα row-echelon ονομάζεται μερικές φορές απαλοιφή Gauss-Jordan.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι ο στόχος είναι να βρεθούν οι απαντήσεις σε αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Πρώτον, το σύστημα πρέπει να μετατραπεί σε έναν επαυξημένο πίνακα. Σε έναν επαυξημένο πίνακα, κάθε γραμμική εξίσωση γίνεται μια γραμμή. Στη μία πλευρά του επαυξημένου πίνακα, οι συντελεστές κάθε όρου της γραμμικής εξίσωσης γίνονται αριθμοί στον πίνακα. Στην άλλη πλευρά του επαυξημένου πίνακα είναι οι σταθεροί όροι κάθε γραμμικής εξίσωσης. Για αυτό το σύστημα, ο επαυξημένος πίνακας είναι:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Στη συνέχεια, μπορούν να γίνουν πράξεις γραμμής στον επαυξημένο πίνακα για την απλούστευσή του. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη διαδικασία αναγωγής γραμμών στο σύστημα εξισώσεων και στον επαυξημένο πίνακα.

Σύστημα εξισώσεων	Λειτουργίες γραμμής	Επαυξημένος πίνακας
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Ο πίνακας είναι τώρα σε μορφή row-echelon. Αυτή ονομάζεται επίσης τριγωνική μορφή.

Σύστημα εξισώσεων	Λειτουργίες γραμμής	Επαυξημένος πίνακας
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Ο πίνακας είναι τώρα σε μορφή μειωμένης γραμμής-εκελόνων. Η ανάγνωση αυτού του πίνακα μας λέει ότι οι λύσεις για αυτό το σύστημα εξισώσεων εμφανίζονται όταν x = 2, y = 3 και z = -1.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι η γκαουσιανή εξάλειψη;

A: Η απαλοιφή Γκάους είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Ερ: Από ποιον πήρε το όνομά της;

A: Πήρε το όνομά της από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, έναν διάσημο Γερμανό μαθηματικό που έγραψε για τη μέθοδο αυτή, αλλά δεν την εφηύρε.

Ερ: Πώς γίνεται η απαλοιφή Γκάους;

Α: Η απαλοιφή Γκάους εκτελείται με τη χρήση των συντελεστών των όρων του συστήματος γραμμικών εξισώσεων για τη δημιουργία ενός επαυξημένου πίνακα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούνται στοιχειώδεις πράξεις γραμμής για την απλοποίηση του πίνακα.

Ερ: Ποιοι είναι οι τρεις τύποι πράξεων γραμμής που χρησιμοποιούνται στην απαλοιφή του Γκάους;

Α: Οι τρεις τύποι πράξεων γραμμής που χρησιμοποιούνται στην απαλοιφή Γκαουσιανού είναι οι εξής: Ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναν μη μηδενικό αριθμό και η πρόσθεση ή αφαίρεση μιας γραμμής από μια άλλη γραμμή.

Ερ: Ποιος είναι ο στόχος της απαλοιφής του Γκάους;

Α: Ο στόχος της απαλοιφής Γκαουσιανού είναι να πάρει ο πίνακας τη μορφή γραμμής-εκελονίου.

Ερ: Τι είναι η μορφή γραμμής-εχελόνου;

Α: Εάν ένας πίνακας είναι σε μορφή row-echelon, αυτό σημαίνει ότι διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά, κάθε γραμμή θα ξεκινάει με τουλάχιστον έναν περισσότερο μηδενικό όρο από τη γραμμή που βρίσκεται από πάνω της.

Ερ: Τι είναι η μειωμένη μορφή γραμμής-έχελον;

Α: Μειωμένη μορφή γραμμής-εχελόνου σημαίνει ότι ο πίνακας είναι σε μορφή γραμμής-εχελόνου και ο μόνος μη μηδενικός όρος σε κάθε γραμμή είναι 1. Η απαλοιφή Gauss που δημιουργεί ένα αποτέλεσμα μειωμένης γραμμής-εχελόνου πίνακα ονομάζεται μερικές φορές απαλοιφή Gauss-Jordan.