Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ

Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ είναι το όνομα που δόθηκε σε δύο θεωρήματα (αληθείς μαθηματικές προτάσεις), τα οποία αποδείχθηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ το 1931. Πρόκειται για θεωρήματα της μαθηματικής λογικής.

Οι μαθηματικοί πίστευαν κάποτε ότι κάθε τι που είναι αληθινό έχει μια μαθηματική απόδειξη. Ένα σύστημα που έχει αυτή την ιδιότητα ονομάζεται πλήρες- ένα σύστημα που δεν την έχει ονομάζεται ελλιπές. Επίσης, οι μαθηματικές ιδέες δεν πρέπει να έχουν αντιφάσεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα πρέπει να είναι ταυτόχρονα αληθείς και ψευδείς. Ένα σύστημα που δεν περιλαμβάνει αντιφάσεις ονομάζεται συνεπές. Τα συστήματα αυτά βασίζονται σε σύνολα αξιωμάτων. Τα αξιώματα είναι δηλώσεις που γίνονται αποδεκτές ως αληθείς και δεν χρειάζονται απόδειξη.

Ο Gödel είπε ότι κάθε μη τετριμμένο (ενδιαφέρον) τυπικό σύστημα είναι είτε ελλιπές είτε ασυνεπές:

  1. Πάντα θα υπάρχουν ερωτήματα που δεν θα μπορούν να απαντηθούν, χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο σύνολο αξιωμάτων,
  2. Δεν μπορείτε να αποδείξετε ότι ένα σύστημα αξιωμάτων είναι συνεπές, εκτός αν χρησιμοποιήσετε ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων.

Αυτά τα θεωρήματα είναι σημαντικά για τους μαθηματικούς επειδή αποδεικνύουν ότι είναι αδύνατο να δημιουργηθεί ένα σύνολο αξιωμάτων που να εξηγεί τα πάντα στα μαθηματικά.

Μερικά σχετικά θέματα

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποια είναι τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ;


A: Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ είναι δύο αληθείς μαθηματικές προτάσεις, που αποδείχθηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ το 1931, στον τομέα της μαθηματικής λογικής.

Ερ: Τι είναι ένα πλήρες σύστημα στα μαθηματικά;


Α: Ένα πλήρες σύστημα στα μαθηματικά είναι ένα σύστημα που έχει την ιδιότητα ότι κάθε τι που είναι αληθές έχει μια μαθηματική απόδειξη.

Ερ: Τι είναι ένα ατελές σύστημα στα μαθηματικά;


Α: Ένα ατελές σύστημα στα μαθηματικά είναι ένα σύστημα που δεν έχει την ιδιότητα ότι κάθε τι που είναι αληθές έχει μαθηματική απόδειξη.

Ερ: Τι είναι ένα συνεπές σύστημα στα μαθηματικά;


Α: Ένα συνεπές σύστημα στα μαθηματικά είναι ένα σύστημα που δεν περιλαμβάνει αντιφάσεις, δηλαδή οι μαθηματικές ιδέες δεν πρέπει να είναι ταυτόχρονα αληθείς και ψευδείς.

Ερ: Τι είναι τα αξιώματα στα μαθηματικά;


Α: Τα αξιώματα στα μαθηματικά είναι δηλώσεις που γίνονται αποδεκτές ως αληθείς και δεν απαιτούν απόδειξη.

Ερ: Τι ισχυρίστηκε ο Γκέντελ για κάθε μη τετριμμένο τυπικό σύστημα;


Α: Ο Γκέντελ ισχυρίστηκε ότι κάθε μη τετριμμένο τυπικό σύστημα είναι είτε ελλιπές είτε ασυνεπές.

Ερ: Γιατί τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ είναι σημαντικά για τους μαθηματικούς;


Α: Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel είναι σημαντικά για τους μαθηματικούς επειδή αποδεικνύουν ότι είναι αδύνατο να δημιουργηθεί ένα σύνολο αξιωμάτων που να εξηγεί τα πάντα στα μαθηματικά.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3