Τα προβλήματα του Χίλμπερτ
Το 1900, ο μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ δημοσίευσε έναν κατάλογο 23 άλυτων μαθηματικών προβλημάτων. Ο κατάλογος των προβλημάτων αποδείχθηκε ότι είχε μεγάλη επιρροή. Μετά το θάνατο του Χίλμπερτ, ένα άλλο πρόβλημα βρέθηκε στα γραπτά του- αυτό είναι σήμερα μερικές φορές γνωστό ως το 24ο πρόβλημα του Χίλμπερτ. Το πρόβλημα αυτό αφορά την εξεύρεση κριτηρίων που να δείχνουν ότι η λύση ενός προβλήματος είναι η απλούστερη δυνατή.
Από τα 23 προβλήματα, τρία δεν είχαν επιλυθεί το 2012, τρία ήταν πολύ ασαφή για να επιλυθούν και έξι μπορούσαν να επιλυθούν εν μέρει. Δεδομένης της επιρροής των προβλημάτων, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay διαμόρφωσε έναν παρόμοιο κατάλογο, που ονομάστηκε Προβλήματα του Βραβείου της Χιλιετίας το 2000.
Περίληψη
Η διατύπωση ορισμένων προβλημάτων είναι καλύτερη από τη διατύπωση άλλων. Από τα καθαρά διατυπωμένα προβλήματα Hilbert, τα προβλήματα 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 και 21 έχουν μια λύση που γίνεται αποδεκτή με συναίνεση. Από την άλλη πλευρά, τα προβλήματα 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , και 22 έχουν λύσεις που έχουν μερική αποδοχή, αλλά υπάρχει κάποια διαφωνία ως προς το αν επιλύει το πρόβλημα.
Η λύση για το πρόβλημα 18, η εικασία του Κέπλερ, χρησιμοποιεί μια απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή. Αυτό είναι αμφιλεγόμενο, επειδή ένας άνθρωπος που διαβάζει δεν είναι σε θέση να επαληθεύσει την απόδειξη σε εύλογο χρόνο.
Αυτό αφήνει 16, 8 (η υπόθεση Riemann) και 12 άλυτα. Σε αυτή την ταξινόμηση οι 4, 16 και 23 είναι πολύ ασαφείς για να χαρακτηριστούν ποτέ λυμένες. Το αποσυρμένο 24 θα ανήκε επίσης σε αυτή την κατηγορία. Το 6 θεωρείται πρόβλημα της φυσικής και όχι των μαθηματικών.
Πίνακας προβλημάτων
Τα είκοσι τρία προβλήματα του Χίλμπερτ είναι:
| Πρόβλημα | Σύντομη εξήγηση | Κατάσταση | Έτος Λύθηκε |
| 1η | Η υπόθεση της συνέχειας (δηλαδή, δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα να είναι αυστηρά μεταξύ της πληθικότητας των ακεραίων και της πληθικότητας των πραγματικών αριθμών) | Αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να διαψευστεί στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων Zermelo-Fraenkel με ή χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής (υπό την προϋπόθεση ότι η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel με ή χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής είναι συνεπής, δηλαδή δεν περιέχει δύο θεωρήματα που το ένα είναι άρνηση του άλλου). Δεν υπάρχει συναίνεση σχετικά με το αν αυτό αποτελεί λύση του προβλήματος. | 1963 |
| 2η | Αποδείξτε ότι τα αξιώματα της αριθμητικής είναι συνεπή. | Δεν υπάρχει συναίνεση σχετικά με το αν τα αποτελέσματα των Gödel και Gentzen δίνουν λύση στο πρόβλημα όπως διατυπώθηκε από τον Hilbert. Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ, που αποδείχθηκε το 1931, δείχνει ότι καμία απόδειξη της συνέπειάς του δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσα στην ίδια την αριθμητική. Η απόδειξη της συνέπειας του Gentzen (1936) δείχνει ότι η συνέπεια της αριθμητικής προκύπτει από την ορθή θεμελίωση του διατακτικού ε . 0 | 1936? |
| 3η | Δεδομένων δύο πολυέδρων ίσου όγκου, είναι πάντα δυνατό να κόψουμε το πρώτο σε πεπερασμένα πολλά πολυεδρικά κομμάτια τα οποία μπορούν να συναρμολογηθούν για να δώσουν το δεύτερο; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: όχι, αποδεικνύεται με τη χρήση των αναλλοίωτων Dehn. | 1900 |
| 4η | Κατασκευάστε όλες τις μετρικές όπου οι γραμμές είναι γεωδαισιακές. | Πολύ ασαφές για να δηλωθεί αν επιλύθηκε ή όχι. | - |
| 5η | Οι συνεχείς ομάδες είναι αυτόματα διαφορικές ομάδες; | Λύθηκε από τον Andrew Gleason ή τον Hidehiko Yamabe, ανάλογα με το πώς ερμηνεύεται η αρχική δήλωση. Αν, ωστόσο, εκληφθεί ως ισοδύναμο της εικασίας Hilbert-Smith, παραμένει άλυτη. | 1953? |
| 6η | Αξιωματικοποίηση όλης της φυσικής | Επιλύθηκε μερικώς. | - |
| 7η | Είναι ένα bυπερβατικό, για αλγεβρικό α ≠ 0,1 και ανορθολογικό αλγεβρικό β ; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: ναι, με το θεώρημα του Gelfond ή το θεώρημα Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8η | Η υπόθεση Ρίμαν ("το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένου μηδενός της συνάρτησης ζήτα Ρίμαν είναι ½") και άλλα προβλήματα πρώτων αριθμών, μεταξύ των οποίων η εικασία του Γκόλντμπαχ και η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών. | Ανεπίλυτο. | - |
| 9η | Βρείτε τον πιο γενικό νόμο του θεωρήματος της αμοιβαιότητας σε οποιοδήποτε αλγεβρικό πεδίο αριθμών | Επιλύθηκε μερικώς. | - |
| 10η | Βρείτε έναν αλγόριθμο για να προσδιορίσετε αν μια δεδομένη πολυωνυμική διοφαντική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραια λύση. | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: αδύνατο, το θεώρημα του Matiyasevich συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. | 1970 |
| 11η | Επίλυση τετραγωνικών μορφών με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές. | Επιλύθηκε μερικώς. [] | - |
| 12η | Επεκτείνετε το θεώρημα Kronecker-Weber για τις αβελιανές προεκτάσεις των ορθολογικών αριθμών σε οποιοδήποτε πεδίο βασικών αριθμών. | Επιλύεται εν μέρει με τη θεωρία πεδίου τάξης, αν και η λύση δεν είναι τόσο σαφής όσο το θεώρημα Kronecker-Weber. | - |
| 13η | Επίλυση εξισώσεων 7ου βαθμού με συνεχείς συναρτήσεις δύο παραμέτρων. | Ανεπίλυτο. Το πρόβλημα λύθηκε εν μέρει από τον Vladimir Arnold με βάση την εργασία του Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14η | Είναι ο δακτύλιος των αναλλοίωτων μιας αλγεβρικής ομάδας που δρα σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο πάντα πεπερασμένης παραγωγής; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: όχι, το αντιπαράδειγμα κατασκευάστηκε από τον Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15η | Αυστηρή θεμελίωση του απαριθμητικού λογισμού του Schubert. | Επιλύθηκε μερικώς. [] | - |
| 16η | Περιγράψτε τις σχετικές θέσεις των οβάλ που προέρχονται από μια πραγματική αλγεβρική καμπύλη και ως οριακοί κύκλοι ενός πολυωνυμικού διανυσματικού πεδίου στο επίπεδο. | Ανεπίλυτο. | - |
| 17η | Έκφραση ορισμένης ορθολογικής συνάρτησης ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων | Αποφασίστηκε από τους Emil Artin και Charles Delzell. Αποτέλεσμα: Καθορίστηκε ένα ανώτατο όριο για τον αριθμό των τετραγωνικών όρων που είναι απαραίτητοι. Η εύρεση ενός κατώτερου ορίου εξακολουθεί να αποτελεί ανοικτό πρόβλημα. | 1927 |
| 18η | (α) Υπάρχει πολύεδρο που να επιτρέπει μόνο ένα ανισοεδρικό πλακίδιο στις τρεις διαστάσεις; | (α) Αποφασίστηκε. Αποτέλεσμα: ναι (από τον Karl Reinhardt). | (α) 1928 |
| 19η | Είναι οι λύσεις των Λαγκραντζιανών πάντα αναλυτικές; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: ναι, αποδεικνύεται από τον Ennio de Giorgi και, ανεξάρτητα και με διαφορετικές μεθόδους, από τον John Forbes Nash. | 1957 |
| 20η | Έχουν λύσεις όλα τα μεταβλητά προβλήματα με ορισμένες οριακές συνθήκες; | Λύθηκε. Σημαντικό θέμα έρευνας καθ' όλη τη διάρκεια του 20ού αιώνα, με αποκορύφωμα τις λύσεις[] για τη μη γραμμική περίπτωση. | - |
| 21η | Απόδειξη της ύπαρξης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με προδιαγεγραμμένη μονοδρομική ομάδα | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι ή όχι, ανάλογα με την ακριβέστερη διατύπωση του προβλήματος. [] | - |
| 22η | Ομογενοποίηση αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτομορφικών συναρτήσεων | Λύθηκε. [] | - |
| 23η | Περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών | Ανεπίλυτο. | - |
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Ποιος δημοσίευσε έναν κατάλογο 23 άλυτων μαθηματικών προβλημάτων το 1900;
A: Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ δημοσίευσε έναν κατάλογο 23 άλυτων μαθηματικών προβλημάτων το 1900.
Ερ: Το 24ο πρόβλημα του Χίλμπερτ ήταν μέρος του αρχικού καταλόγου;
Α: Όχι, το 24ο πρόβλημα του Χίλμπερτ βρέθηκε στα γραπτά του Χίλμπερτ μετά το θάνατό του.
Ερ: Τι αφορά το 24ο πρόβλημα του Χίλμπερτ;
Α: Το 24ο πρόβλημα του Χίλμπερτ αφορά την εύρεση κριτηρίων που δείχνουν ότι η λύση ενός προβλήματος είναι η απλούστερη δυνατή.
Ερ: Είχαν λυθεί και τα 23 προβλήματα του καταλόγου του Χίλμπερτ μέχρι το 2012;
Α: Όχι, τρία από τα 23 προβλήματα του καταλόγου του Χίλμπερτ δεν είχαν λυθεί το 2012.
Ερ: Ήταν κάποιο από τα προβλήματα του καταλόγου του Χίλμπερτ πολύ ασαφές για να επιλυθεί;
Α: Ναι, τρία από τα προβλήματα του καταλόγου του Χίλμπερτ ήταν πολύ ασαφή για να επιλυθούν.
Ερ: Πόσα από τα προβλήματα στον κατάλογο του Χίλμπερτ μπορούσαν να επιλυθούν εν μέρει;
Α: Έξι από τα προβλήματα του καταλόγου του Χίλμπερτ θα μπορούσαν να επιλυθούν μερικώς.
Ερ: Δημιούργησε το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay έναν παρόμοιο κατάλογο με τα προβλήματα του Χίλμπερτ;
Α: Ναι, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay δημιούργησε έναν παρόμοιο κατάλογο που ονομάζεται Millennium Prize Problems το 2000.
