| Πρόβλημα | Σύντομη εξήγηση | Κατάσταση | Έτος Λύθηκε |
| 1η | Η υπόθεση της συνέχειας (δηλαδή, δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα να είναι αυστηρά μεταξύ της πληθικότητας των ακεραίων και της πληθικότητας των πραγματικών αριθμών) | Αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να διαψευστεί στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων Zermelo-Fraenkel με ή χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής (υπό την προϋπόθεση ότι η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel με ή χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής είναι συνεπής, δηλαδή δεν περιέχει δύο θεωρήματα που το ένα είναι άρνηση του άλλου). Δεν υπάρχει συναίνεση σχετικά με το αν αυτό αποτελεί λύση του προβλήματος. | 1963 |
| 2η | Αποδείξτε ότι τα αξιώματα της αριθμητικής είναι συνεπή. | Δεν υπάρχει συναίνεση σχετικά με το αν τα αποτελέσματα των Gödel και Gentzen δίνουν λύση στο πρόβλημα όπως διατυπώθηκε από τον Hilbert. Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ, που αποδείχθηκε το 1931, δείχνει ότι καμία απόδειξη της συνέπειάς του δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσα στην ίδια την αριθμητική. Η απόδειξη της συνέπειας του Gentzen (1936) δείχνει ότι η συνέπεια της αριθμητικής προκύπτει από την ορθή θεμελίωση του διατακτικού ε . 0 | 1936? |
| 3η | Δεδομένων δύο πολυέδρων ίσου όγκου, είναι πάντα δυνατό να κόψουμε το πρώτο σε πεπερασμένα πολλά πολυεδρικά κομμάτια τα οποία μπορούν να συναρμολογηθούν για να δώσουν το δεύτερο; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: όχι, αποδεικνύεται με τη χρήση των αναλλοίωτων Dehn. | 1900 |
| 4η | Κατασκευάστε όλες τις μετρικές όπου οι γραμμές είναι γεωδαισιακές. | Πολύ ασαφές για να δηλωθεί αν επιλύθηκε ή όχι. | - |
| 5η | Οι συνεχείς ομάδες είναι αυτόματα διαφορικές ομάδες; | Λύθηκε από τον Andrew Gleason ή τον Hidehiko Yamabe, ανάλογα με το πώς ερμηνεύεται η αρχική δήλωση. Αν, ωστόσο, εκληφθεί ως ισοδύναμο της εικασίας Hilbert-Smith, παραμένει άλυτη. | 1953? |
| 6η | Αξιωματικοποίηση όλης της φυσικής | Επιλύθηκε μερικώς. | - |
| 7η | Είναι ένα bυπερβατικό, για αλγεβρικό α ≠ 0,1 και ανορθολογικό αλγεβρικό β ; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: ναι, με το θεώρημα του Gelfond ή το θεώρημα Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8η | Η υπόθεση Ρίμαν ("το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένου μηδενός της συνάρτησης ζήτα Ρίμαν είναι ½") και άλλα προβλήματα πρώτων αριθμών, μεταξύ των οποίων η εικασία του Γκόλντμπαχ και η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών. | Ανεπίλυτο. | - |
| 9η | Βρείτε τον πιο γενικό νόμο του θεωρήματος της αμοιβαιότητας σε οποιοδήποτε αλγεβρικό πεδίο αριθμών | Επιλύθηκε μερικώς. | - |
| 10η | Βρείτε έναν αλγόριθμο για να προσδιορίσετε αν μια δεδομένη πολυωνυμική διοφαντική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραια λύση. | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: αδύνατο, το θεώρημα του Matiyasevich συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. | 1970 |
| 11η | Επίλυση τετραγωνικών μορφών με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές. | Επιλύθηκε μερικώς. [] | - |
| 12η | Επεκτείνετε το θεώρημα Kronecker-Weber για τις αβελιανές προεκτάσεις των ορθολογικών αριθμών σε οποιοδήποτε πεδίο βασικών αριθμών. | Επιλύεται εν μέρει με τη θεωρία πεδίου τάξης, αν και η λύση δεν είναι τόσο σαφής όσο το θεώρημα Kronecker-Weber. | - |
| 13η | Επίλυση εξισώσεων 7ου βαθμού με συνεχείς συναρτήσεις δύο παραμέτρων. | Ανεπίλυτο. Το πρόβλημα λύθηκε εν μέρει από τον Vladimir Arnold με βάση την εργασία του Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14η | Είναι ο δακτύλιος των αναλλοίωτων μιας αλγεβρικής ομάδας που δρα σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο πάντα πεπερασμένης παραγωγής; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: όχι, το αντιπαράδειγμα κατασκευάστηκε από τον Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15η | Αυστηρή θεμελίωση του απαριθμητικού λογισμού του Schubert. | Επιλύθηκε μερικώς. [] | - |
| 16η | Περιγράψτε τις σχετικές θέσεις των οβάλ που προέρχονται από μια πραγματική αλγεβρική καμπύλη και ως οριακοί κύκλοι ενός πολυωνυμικού διανυσματικού πεδίου στο επίπεδο. | Ανεπίλυτο. | - |
| 17η | Έκφραση ορισμένης ορθολογικής συνάρτησης ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων | Αποφασίστηκε από τους Emil Artin και Charles Delzell. Αποτέλεσμα: Καθορίστηκε ένα ανώτατο όριο για τον αριθμό των τετραγωνικών όρων που είναι απαραίτητοι. Η εύρεση ενός κατώτερου ορίου εξακολουθεί να αποτελεί ανοικτό πρόβλημα. | 1927 |
| 18η | (α) Υπάρχει πολύεδρο που να επιτρέπει μόνο ένα ανισοεδρικό πλακίδιο στις τρεις διαστάσεις;
(β) Ποιο είναι το πυκνότερο σφαιρικό πακετάρισμα; | (α) Αποφασίστηκε. Αποτέλεσμα: ναι (από τον Karl Reinhardt).
(β) Λύθηκε από τον Thomas Callister Hales χρησιμοποιώντας απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή. Αποτέλεσμα: κυβική στενή συσκευασία και εξαγωνική στενή συσκευασία, οι οποίες έχουν πυκνότητα περίπου 74%. | (α) 1928
(β) 1998 |
| 19η | Είναι οι λύσεις των Λαγκραντζιανών πάντα αναλυτικές; | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: ναι, αποδεικνύεται από τον Ennio de Giorgi και, ανεξάρτητα και με διαφορετικές μεθόδους, από τον John Forbes Nash. | 1957 |
| 20η | Έχουν λύσεις όλα τα μεταβλητά προβλήματα με ορισμένες οριακές συνθήκες; | Λύθηκε. Σημαντικό θέμα έρευνας καθ' όλη τη διάρκεια του 20ού αιώνα, με αποκορύφωμα τις λύσεις[] για τη μη γραμμική περίπτωση. | - |
| 21η | Απόδειξη της ύπαρξης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με προδιαγεγραμμένη μονοδρομική ομάδα | Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι ή όχι, ανάλογα με την ακριβέστερη διατύπωση του προβλήματος. [] | - |
| 22η | Ομογενοποίηση αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτομορφικών συναρτήσεων | Λύθηκε. [] | - |
| 23η | Περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών | Ανεπίλυτο. | - |
