Θεώρημα
Ένα θεώρημα είναι μια αποδεδειγμένη ιδέα στα μαθηματικά. Τα θεωρήματα αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας τη λογική και άλλα θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί. Ένα θεώρημα που κάποιος πρέπει να αποδείξει ώστε να μπορέσει να αποδείξει ένα άλλο θεώρημα ονομάζεται λήμμα. Τα θεωρήματα αποτελούνται από δύο μέρη, υπάρχουν οι υποθέσεις και τα συμπεράσματα.
Τα θεωρήματα χρησιμοποιούν την επαγωγή, σε αντίθεση με τις θεωρίες που είναι εμπειρικές.
Ορισμένα θεωρήματα είναι τετριμμένα, προκύπτουν άμεσα από τις προτάσεις. Άλλα θεωρήματα ονομάζονται "βαθιά", η απόδειξή τους είναι μακρά και δύσκολη. Μερικές φορές, τέτοιες αποδείξεις αφορούν άλλες περιοχές των μαθηματικών ή δείχνουν συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών περιοχών. Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του και όμως να είναι βαθύ. Ένα εξαιρετικό παράδειγμα είναι το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα απλών αλλά βαθιών θεωρημάτων στη θεωρία αριθμών και τη συνδυαστική, μεταξύ άλλων περιοχών.
Υπάρχουν και άλλα θεωρήματα για τα οποία είναι γνωστή η απόδειξη, αλλά δεν είναι εύκολο να καταγραφεί. Μεταξύ των καλύτερων παραδειγμάτων είναι το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων και η εικασία του Κέπλερ. Και τα δύο αυτά θεωρήματα είναι γνωστό ότι ισχύουν μόνο αν τα αναγάγουμε σε μια υπολογιστική αναζήτηση, η οποία στη συνέχεια επαληθεύεται από ένα πρόγραμμα υπολογιστή. Στην αρχή, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδέχονταν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά έχει γίνει ευρύτερα αποδεκτή τα τελευταία χρόνια. Ο μαθηματικός Doron Zeilberger έφτασε μάλιστα στο σημείο να ισχυριστεί ότι αυτά είναι ενδεχομένως τα μόνα μη τετριμμένα αποτελέσματα που έχουν αποδείξει ποτέ οι μαθηματικοί. Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε πιο απλούς υπολογισμούς, συμπεριλαμβανομένων πολυωνυμικών ταυτοτήτων, τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και υπεργεωμετρικών ταυτοτήτων.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει τουλάχιστον 370 γνωστές αποδείξεις.
Βιβλία
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, ανακτήθηκε 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Ο άνθρωπος που αγαπούσε μόνο τους αριθμούς: Η ιστορία του Paul Erdős και η αναζήτηση της μαθηματικής αλήθειας. Hyperion, Νέα Υόρκη.
- Petkovsek, Marko, Wilf, Herbert, Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Μασαχουσέτη. External link in
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ε: Τι είναι το θεώρημα;
A: Ένα θεώρημα είναι μια ιδέα που έχει αποδειχθεί ότι είναι αληθής στα μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λογική και άλλα θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί.
Ε: Τι είναι το λήμμα;
A: Ένα λήμμα είναι ένα δευτερεύον θεώρημα που πρέπει να αποδείξει κανείς για να αποδείξει ένα μείζον θεώρημα.
Ερ: Πώς κατασκευάζονται τα θεωρήματα;
Α: Τα θεωρήματα αποτελούνται από δύο μέρη - υποθέσεις και συμπεράσματα - και χρησιμοποιούν την εξαγωγή συμπερασμάτων και όχι εμπειρικές θεωρίες.
Ερ: Είναι δύσκολο να αποδειχθούν όλα τα θεωρήματα;
Α: Όχι, ορισμένα θεωρήματα είναι τετριμμένα αφού προκύπτουν άμεσα από προτάσεις, ενώ άλλα απαιτούν μακρές και δύσκολες αποδείξεις που περιλαμβάνουν άλλους τομείς των μαθηματικών ή δείχνουν συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών τομέων.
Ερ: Μπορεί ένα θεώρημα να είναι απλό αλλά και βαθύ;
Α: Ναι, ένα παράδειγμα αυτού θα ήταν το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, το οποίο είναι απλό στη διατύπωση αλλά η απόδειξή του είναι μακρά και δύσκολη.
Ερ: Υπάρχουν θεωρήματα για τα οποία είναι γνωστή η απόδειξη αλλά δεν μπορούν εύκολα να καταγραφούν;
Α: Ναι, παραδείγματα αποτελούν το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων και η εικασία του Κέπλερ, τα οποία μπορούν να επαληθευτούν μόνο με την εκτέλεσή τους σε προγράμματα υπολογιστών.
Ερ: Μπορούν τα μαθηματικά θεωρήματα μερικές φορές να αναχθούν σε απλούστερους υπολογισμούς;
Α: Ναι, τα μαθηματικά θεωρήματα μπορούν μερικές φορές να αναχθούν σε απλούστερους υπολογισμούς, όπως πολυωνυμικές ταυτότητες, τριγωνομετρικές ταυτότητες ή υπεργεωμετρικές ταυτότητες.
