Νόμος των μεγάλων αριθμών
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών (LLN) είναι ένα θεώρημα της στατιστικής. Θεωρείστε κάποια διαδικασία στην οποία συμβαίνουν τυχαία αποτελέσματα. Για παράδειγμα, μια τυχαία μεταβλητή παρατηρείται επανειλημμένα. Τότε ο μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών θα είναι σταθερός, μακροπρόθεσμα. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα, ο μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στην αναμενόμενη τιμή.
Όταν ρίχνετε ζάρια, οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5 και 6 είναι πιθανά αποτελέσματα. Είναι όλοι εξίσου πιθανοί. Ο μέσος όρος του πληθυσμού (ή η "αναμενόμενη τιμή") των αποτελεσμάτων είναι:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Το παρακάτω γράφημα δείχνει τα αποτελέσματα ενός πειράματος με ρίψεις ενός ζαριού. Σε αυτό το πείραμα φαίνεται ότι ο μέσος όρος των ζαριών του ζαριού μεταβάλλεται άγρια στην αρχή. Όπως προβλέπεται από το LLN, ο μέσος όρος σταθεροποιείται γύρω από την αναμενόμενη τιμή 3,5 καθώς ο αριθμός των παρατηρήσεων γίνεται μεγάλος.
Ιστορία
Ο Jacob Bernoulli περιέγραψε για πρώτη φορά το LLN. Λέει ότι ήταν τόσο απλό που ακόμη και ο πιο ανόητος άνθρωπος ενστικτωδώς γνωρίζει ότι είναι αλήθεια. Παρόλα αυτά, του πήρε πάνω από 20 χρόνια για να αναπτύξει μια καλή μαθηματική απόδειξη. Μόλις τη βρήκε, δημοσίευσε την απόδειξη στο Ars Conjectandi (Η τέχνη της εικασίας) το 1713. Το ονόμασε "Χρυσό Θεώρημα". Έγινε γενικά γνωστό ως "Θεώρημα του Bernoulli" (δεν πρέπει να συγχέεται με τον ομώνυμο νόμο της Φυσικής). Το 1835, ο S.D.Poisson το περιέγραψε περαιτέρω με την ονομασία "La loi des grands nombres" (Ο νόμος των μεγάλων αριθμών). Στη συνέχεια, ήταν γνωστός και με τα δύο ονόματα, αλλά ο "Νόμος των μεγάλων αριθμών" χρησιμοποιείται συχνότερα.
Άλλοι μαθηματικοί συνέβαλαν επίσης στη βελτίωση του νόμου. Μερικοί από αυτούς ήταν οι Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli και Kolmogorov. Μετά από αυτές τις μελέτες υπάρχουν πλέον δύο διαφορετικές μορφές του νόμου: Η μία ονομάζεται "ασθενής" νόμος και η άλλη "ισχυρός" νόμος. Οι μορφές αυτές δεν περιγράφουν διαφορετικούς νόμους. Έχουν διαφορετικούς τρόπους για να περιγράψουν τη σύγκλιση της παρατηρούμενης ή μετρούμενης πιθανότητας στην πραγματική πιθανότητα. Η ισχυρή μορφή του νόμου συνεπάγεται την ασθενή.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμών;
A: Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι ένα θεώρημα της στατιστικής που δηλώνει ότι αν μια τυχαία διαδικασία παρατηρείται επανειλημμένα, τότε ο μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών θα είναι σταθερός μακροπρόθεσμα.
Ερ: Τι σημαίνει ο νόμος των μεγάλων αριθμών;
Α: Ο νόμος των μεγάλων αριθμών σημαίνει ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των παρατηρήσεων, ο μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στην αναμενόμενη τιμή.
Ε: Τι είναι η αναμενόμενη τιμή;
Α: Μια αναμενόμενη τιμή είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού των αποτελεσμάτων μιας τυχαίας διαδικασίας.
Ερ: Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή της ρίψης ενός ζαριού;
Α: Η αναμενόμενη τιμή της ρίψης ενός ζαριού είναι το άθροισμα των πιθανών αποτελεσμάτων διαιρούμενο με τον αριθμό των αποτελεσμάτων: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
Ερ: Τι δείχνει το γράφημα στο κείμενο σε σχέση με το νόμο των μεγάλων αριθμών;
Α: Το γράφημα δείχνει ότι ο μέσος όρος των ζαριών ποικίλλει άγρια στην αρχή, αλλά όπως προβλέπει ο νόμος του LLN, ο μέσος όρος σταθεροποιείται γύρω από την αναμενόμενη τιμή 3,5 καθώς ο αριθμός των παρατηρήσεων γίνεται μεγάλος.
Ερ: Πώς εφαρμόζεται ο νόμος των μεγάλων αριθμών στην ρίψη ζαριών;
Α: Ο νόμος των μεγάλων αριθμών εφαρμόζεται στην ρίψη ζαριών, διότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των ρίψεων, ο μέσος όρος των ρίψεων θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στην αναμενόμενη τιμή 3,5.
Ερ: Γιατί ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι σημαντικός στη στατιστική;
Α: Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι σημαντικός στη στατιστική επειδή παρέχει μια θεωρητική βάση για την ιδέα ότι τα δεδομένα τείνουν να εξισωθούν κατά μέσο όρο σε έναν μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων. Αποτελεί τη βάση για πολλές στατιστικές μεθόδους, όπως τα διαστήματα εμπιστοσύνης και ο έλεγχος υποθέσεων.
