Νόμος των ημιτόνων

Συγγραφέας: Leandro Alegsa

09-04-3647

Ο κανόνας του ημιτόνου ή νόμος των ημιτόνων είναι ένα θεώρημα των μαθηματικών. Λέει ότι, αν έχετε ένα τρίγωνο όπως αυτό της εικόνας, η παρακάτω εξίσωση είναι αληθής.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Αυτή είναι μια άλλη εκδοχή, η οποία είναι επίσης αληθινή.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Το D είναι ίσο με τη διάμετρο του περιγράμματος του τριγώνου.

Ο νόμος των ημιτόνων χρησιμοποιείται για να βρεθούν οι υπόλοιπες πλευρές ενός τριγώνου όταν είναι γνωστές δύο γωνίες και μια πλευρά. Αυτό είναι γνωστό ως τριγωνισμός. Ωστόσο, αυτός ο υπολογισμός μπορεί να έχει αριθμητικό σφάλμα εάν μια γωνία είναι κοντά στις 90 μοίρες. Ο νόμος των ημιτόνων μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί όταν είναι γνωστές δύο πλευρές και μία από τις γωνίες που δεν περικλείονται από τις δύο πλευρές. Σε ορισμένες τέτοιες περιπτώσεις, ο τύπος δίνει δύο πιθανές τιμές για τη γωνία που περικλείεται. Αυτό ονομάζεται διφορούμενη περίπτωση.

Ο νόμος των ημιτόνων είναι μία από τις δύο τριγωνομετρικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για την εύρεση μηκών και γωνιών σε σκαληνά τρίγωνα. Η άλλη είναι ο νόμος των συνημίτονων.

Ένα τρίγωνο με τα γράμματα που απαιτούνται για την εξήγηση αυτή. Α, Β και Γ είναι οι γωνίες. α είναι η πλευρά απέναντι από το Α . β είναι η πλευρά απέναντι από το Β . γ είναι η πλευρά απέναντι από το Γ.

Απόδειξη

Το εμβαδόν T {\displaystyle T} $T$ οποιουδήποτε τριγώνου μπορεί να γραφτεί ως το μισό της βάσης του επί το ύψος του (από την κορυφή που δεν βρίσκεται στη βάση). Ανάλογα με το ποια πλευρά επιλέγουμε να είναι η βάση, το εμβαδόν μπορεί να δοθεί από τη σχέση

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Ο πολλαπλασιασμός τους με 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} $2/abc$ δίνει

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ε: Τι είναι ο μπλε νόμος;

Α: Ο νόμος του ημιτόνου, γνωστός και ως νόμος του ημιτόνου, είναι ένα μαθηματικό θεώρημα που λέει ότι αν έχετε ένα τρίγωνο όπως αυτό της εικόνας, η εξίσωση είναι αληθής.

Q: Τι λέει αυτή η εξίσωση;

Α: Η εξίσωση αυτή λέει ότι ο λόγος του μήκους κάθε πλευράς προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας της είναι ίσος.

Q: Πώς χρησιμοποιείται;

Α: Ο νόμος του ημιτόνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε τις υπόλοιπες πλευρές ενός τριγώνου όταν γνωρίζετε δύο γωνίες και μία πλευρά. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί όταν γνωρίζετε δύο πλευρές και μία γωνία που δεν περικλείουν οι δύο πλευρές.

Ερ: Τι συμβαίνει στην περίπτωση της διφορούμενης περίπτωσης;

Α: Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο τύπος δίνει δύο πιθανές τιμές για την περιεχόμενη γωνία. Αυτό ονομάζεται διφορούμενη περίπτωση.

Q: Πώς συγκρίνεται με άλλες τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Α: Ο νόμος των ημιτόνων είναι μία από τις δύο τριγωνομετρικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για την εύρεση μηκών και γωνιών σε σκαληνά τρίγωνα. Ο άλλος είναι ο νόμος των συνημίτονων.

Q: Ποια είναι η τιμή του D; Α: Το D είναι ίσο με τη διάμετρο της περιμέτρου ενός τριγώνου.