Εικασία του Πουανκαρέ
Η εικασία Πουανκαρέ είναι ένα ερώτημα σχετικά με τις σφαίρες στα μαθηματικά. Πήρε το όνομά της από τον Henri Poincaré, τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό που τη διατύπωσε το 1904.
Η σφαίρα (που ονομάζεται επίσης 2-σφαίρα, καθώς είναι μια δισδιάστατη επιφάνεια, αν και συνήθως την βλέπουμε μέσα σε έναν τρισδιάστατο χώρο) έχει την ιδιότητα ότι οποιαδήποτε θηλιά πάνω της μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο (αν τυλιχθεί ένα λάστιχο γύρω από τη σφαίρα, είναι δυνατόν να γλιστρήσει προς τα κάτω σε ένα σημείο). Οι μαθηματικοί λένε ότι η 2-σφαίρα είναι απλά συνδεδεμένη. Άλλοι χώροι δεν έχουν αυτή την ιδιότητα, για παράδειγμα το ντόνατ: ένα λαστιχάκι που περνάει μια φορά γύρω από ολόκληρο το ντόνατ δεν μπορεί να γλιστρήσει προς τα κάτω σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από την επιφάνεια.
Οι μαθηματικοί γνώριζαν ότι αυτή η ιδιότητα ήταν μοναδική για τη 2-σφαίρα, με την έννοια ότι οποιοσδήποτε άλλος απλά συνδεδεμένος χώρος που δεν έχει ακμές και είναι αρκετά μικρός (με μαθηματικούς όρους, δηλαδή συμπαγής) είναι στην πραγματικότητα η 2-σφαίρα. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει πλέον αν αφαιρέσουμε την ιδέα της μικρότητας, καθώς ένα απείρως μεγάλο επίπεδο είναι επίσης απλά συνδεδεμένο. Επίσης, ένας κανονικός δίσκος (ένας κύκλος και το εσωτερικό του) είναι απλά συνδεδεμένος, αλλά έχει μια ακμή (τον οριοθετικό κύκλο).
Η εικασία διερωτάται αν το ίδιο ισχύει και για την 3-σφαίρα, η οποία είναι ένα αντικείμενο που ζει φυσικά σε τέσσερις διαστάσεις. Το ερώτημα αυτό αποτέλεσε κίνητρο για μεγάλο μέρος των σύγχρονων μαθηματικών, ιδίως στον τομέα της τοπολογίας. Το ερώτημα επιλύθηκε τελικά το 2002 από τον Grigori Perelman, έναν Ρώσο μαθηματικό, με μεθόδους από τη γεωμετρία, δείχνοντας ότι όντως ισχύει. Του απονεμήθηκε το μετάλλιο Fields και το βραβείο χιλιετίας ύψους 1 εκατομμυρίου δολαρίων για το έργο του, τα οποία αρνήθηκε και τα δύο.
Η εικασία Πουανκαρέ μπορεί επίσης να επεκταθεί σε υψηλότερες διαστάσεις: πρόκειται για τη γενικευμένη εικασία Πουανκαρέ. Παραδόξως, ήταν ευκολότερο να αποδειχθεί το γεγονός για σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων: το 1960, ο Smale απέδειξε ότι ισχύει για την 5-σφαίρα, την 6-σφαίρα και υψηλότερες. Το 1982, ο Freedman απέδειξε ότι ίσχυε και για την 4-σφαίρα, και γι' αυτό του απονεμήθηκε το μετάλλιο Fields.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η εικασία Πουανκαρέ;
A: Η εικασία Πουανκαρέ είναι ένα ερώτημα σχετικά με τις σφαίρες στα μαθηματικά, το οποίο πήρε το όνομά του από τον Ανρί Πουανκαρέ και το οποίο ρωτάει αν ορισμένες ιδιότητες της σφαίρας 2 ισχύουν και για την σφαίρα 3.
Ερ: Ποια ιδιότητα έχει η 2-σφαίρα;
Α: Η 2-σφαίρα έχει την ιδιότητα ότι κάθε βρόχος σε αυτήν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο.
Ερ: Είναι αυτή η ιδιότητα μοναδική για την 2-σφαίρα;
Α: Η ιδιότητα αυτή είναι μοναδική για την 2-σφαίρα όσον αφορά τους μικρούς χώρους που δεν έχουν ακμές. Ωστόσο, ένα απείρως μεγάλο επίπεδο και ένας κανονικός δίσκος (ένας κύκλος και το εσωτερικό του) είναι και οι δύο απλά συνδεδεμένοι αλλά έχουν ακμές.
Ερ: Ποιος απέδειξε ότι ισχύει για σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων;
Α: Το 1960, ο Smale απέδειξε ότι ισχύει για σφαίρες 5, 6 και μεγαλύτερων διαστάσεων και το 1982 ο Freedman απέδειξε ότι ισχύει και για σφαίρες 4 διαστάσεων.
Ερ: Ποιος έλυσε την εικασία Πουανκαρέ;
Α: Η εικασία Poincaré λύθηκε από τον Grigori Perelman, έναν Ρώσο μαθηματικό, ο οποίος χρησιμοποίησε μεθόδους από τη γεωμετρία για να δείξει ότι είναι πράγματι αληθής.
Ερ: Τι βραβεία έλαβε ο Πέρελμαν για το έργο του;
Α: Ο Πέρελμαν έλαβε το μετάλλιο Fields και το βραβείο Millennium ύψους 1 εκατομμυρίου δολαρίων για το έργο του στην επίλυση της εικασίας Πουανκαρέ- ωστόσο αρνήθηκε και τα δύο βραβεία.
