Τετραγωνικός αριθμός

Ένας τετραγωνικός αριθμός, που μερικές φορές ονομάζεται επίσης τέλειο τετράγωνο, είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με τον εαυτό του. Το 1, το 4, το 9, το 16 και το 25 είναι οι πέντε πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί. Σε έναν τύπο, το τετράγωνο ενός αριθμού n συμβολίζεται ως $n 2$ (εκθετικό), συνήθως προφέρεται ως "n squared". Το όνομα τετραγωνικός αριθμός προέρχεται από το όνομα του σχήματος- βλέπε παρακάτω.

Οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι μη αρνητικοί. Ένας άλλος τρόπος για να πούμε ότι ένας (μη αρνητικός) αριθμός είναι τετραγωνικός αριθμός, είναι ότι η τετραγωνική του ρίζα είναι και πάλι ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, √9 = 3, άρα το 9 είναι τετραγωνικός αριθμός.

Παραδείγματα

Τα τετράγωνα (ακολουθία A000290 στο OEIS) που είναι μικρότερα από 70² είναι:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί.

Ιδιότητες

Ο αριθμός m είναι τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορεί κανείς να συνθέσει ένα τετράγωνο από m ίσα (μικρότερα) τετράγωνα:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Σημείωση: Τα λευκά κενά μεταξύ των τετραγώνων χρησιμεύουν μόνο για τη βελτίωση της οπτικής αντίληψης. Δεν πρέπει να υπάρχουν κενά μεταξύ των πραγματικών τετραγώνων.

Ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς n έχει εμβαδόν $n . 2$

Η έκφραση για τον n-οστό τετραγωνικό αριθμό είναι n² . Αυτό είναι επίσης ίσο με το άθροισμα των πρώτων n περιττών αριθμών, όπως φαίνεται στις παραπάνω εικόνες, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με ματζέντα). Ακολουθεί ο τύπος:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Έτσι, για παράδειγμα, $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία 0, 1, 4, 6, 9 ή 25 στη βάση 10, ως εξής:

Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 0, το τετράγωνό του καταλήγει σε ζυγό αριθμό 0 (άρα τουλάχιστον 00) και τα ψηφία που προηγούνται των 0 πρέπει επίσης να σχηματίζουν τετράγωνο.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 1 ή το 9, το τετράγωνό του τελειώνει σε 1 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 2 ή 8, το τετράγωνό του τελειώνει σε 4 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι άρτιο.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 3 ή το 7, το τετράγωνό του καταλήγει στο 9 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 4 ή 6, το τετράγωνό του τελειώνει σε 6 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι περιττό.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 5, το τετράγωνό του τελειώνει σε 25 και τα προηγούμενα ψηφία πρέπει να είναι 0, 2, 06 ή 56.

Ένας τετραγωνικός αριθμός δεν μπορεί να είναι τέλειος αριθμός.

Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

Ειδικές περιπτώσεις

Εάν ο αριθμός είναι της μορφής m5 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n25 όπου $n = m \times (m + 1)$ και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το 25. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 65 μπορεί να υπολογιστεί με $n = 6 \times (6 + 1) = 42$ που κάνει το τετράγωνο ίσο με 4225.
Εάν ο αριθμός είναι της μορφής m0 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n00 όπου $n = m 2$ . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 70 είναι 4900.
Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής 5m όπου το m αντιπροσωπεύει το ψηφίο της μονάδας, το τετράγωνό του είναι AABB όπου $AA = 25 + m$ και $BB = m 2$ . Παράδειγμα: Για τον υπολογισμό του τετραγώνου του 57, 25 + 7 = 32 και 7² = 49, που σημαίνει 57² = 3249.

Μοναδιαίοι και ζυγοί τετραγωνικοί αριθμοί

Τα τετράγωνα των ζυγών αριθμών είναι άρτια (και μάλιστα διαιρετά με το 4), αφού $(2n) 2 = 4n 2$ .

Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά, αφού $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Προκύπτει ότι οι τετραγωνικές ρίζες ζυγών τετραγωνικών αριθμών είναι ζυγές και οι τετραγωνικές ρίζες περιττών τετραγωνικών αριθμών είναι περιττές.

Καθώς όλοι οι ζυγοί τετραγωνικοί αριθμοί διαιρούνται με το 4, οι ζυγοί αριθμοί της μορφής $4n + 2$ δεν είναι τετραγωνικοί αριθμοί.

Καθώς όλοι οι περιττοί τετραγωνικοί αριθμοί είναι της μορφής $4n + 1$ , οι περιττοί αριθμοί της μορφής $4n + 3$ δεν είναι τετραγωνικοί αριθμοί.

Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι της μορφής $8n + 1$ , αφού $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ και ο $n (n + 1)$ είναι ζυγός αριθμός.