Τετραγωνικός αριθμός

Τα τετράγωνα (ακολουθία A000290 στο OEIS) που είναι μικρότερα από 70² είναι:

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί.

Ο αριθμός m είναι τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορεί κανείς να συνθέσει ένα τετράγωνο από m ίσα (μικρότερα) τετράγωνα:

Ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς n έχει εμβαδόν n . ²

Η έκφραση για τον n-οστό τετραγωνικό αριθμό είναι n² . Αυτό είναι επίσης ίσο με το άθροισμα των πρώτων n περιττών αριθμών, όπως φαίνεται στις παραπάνω εικόνες, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με ματζέντα). Ακολουθεί ο τύπος:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). }

Έτσι, για παράδειγμα, 5² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία 0, 1, 4, 6, 9 ή 25 στη βάση 10, ως εξής:

1. Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 0, το τετράγωνό του καταλήγει σε ζυγό αριθμό 0 (άρα τουλάχιστον 00) και τα ψηφία που προηγούνται των 0 πρέπει επίσης να σχηματίζουν τετράγωνο.
2. Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 1 ή το 9, το τετράγωνό του τελειώνει σε 1 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
3. Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 2 ή 8, το τετράγωνό του τελειώνει σε 4 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι άρτιο.
4. Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 3 ή το 7, το τετράγωνό του καταλήγει στο 9 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
5. Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 4 ή 6, το τετράγωνό του τελειώνει σε 6 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι περιττό.
6. Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 5, το τετράγωνό του τελειώνει σε 25 και τα προηγούμενα ψηφία πρέπει να είναι 0, 2, 06 ή 56.

Ένας τετραγωνικός αριθμός δεν μπορεί να είναι τέλειος αριθμός.

Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

• Εάν ο αριθμός είναι της μορφής m5 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n25 όπου n = m × (m + 1) και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το 25. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 65 μπορεί να υπολογιστεί με n = 6 × (6 + 1) = 42 που κάνει το τετράγωνο ίσο με 4225.
• Εάν ο αριθμός είναι της μορφής m0 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n00 όπου n = m² . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 70 είναι 4900.
• Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής 5m όπου το m αντιπροσωπεύει το ψηφίο της μονάδας, το τετράγωνό του είναι AABB όπου AA = 25 + m και BB = m² . Παράδειγμα: Για τον υπολογισμό του τετραγώνου του 57, 25 + 7 = 32 και 7² = 49, που σημαίνει 57² = 3249.

Τα τετράγωνα των ζυγών αριθμών είναι άρτια (και μάλιστα διαιρετά με το 4), αφού (2n)² = 4n² .

Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά, αφού (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Προκύπτει ότι οι τετραγωνικές ρίζες ζυγών τετραγωνικών αριθμών είναι ζυγές και οι τετραγωνικές ρίζες περιττών τετραγωνικών αριθμών είναι περιττές.

Καθώς όλοι οι ζυγοί τετραγωνικοί αριθμοί διαιρούνται με το 4, οι ζυγοί αριθμοί της μορφής 4n + 2 δεν είναι τετραγωνικοί αριθμοί.

Καθώς όλοι οι περιττοί τετραγωνικοί αριθμοί είναι της μορφής 4n + 1, οι περιττοί αριθμοί της μορφής 4n + 3 δεν είναι τετραγωνικοί αριθμοί.

Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι της μορφής 8n + 1, αφού (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 και ο n(n + 1) είναι ζυγός αριθμός.