Δύναμη (μαθηματικά)

Ο πολλαπλασιασμός (δύναμη) είναι μια αριθμητική πράξη σε αριθμούς. Είναι επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός, όπως ο πολλαπλασιασμός είναι επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Οι άνθρωποι γράφουν τον πολλαπλασιασμό με άνω δείκτη. Αυτό μοιάζει ως εξής: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Στο παρελθόν έχουν χρησιμοποιηθεί και άλλες μέθοδοι μαθηματικής σημειογραφίας. Όταν γράφουν με εξοπλισμό που δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει τον άνω δείκτη, οι άνθρωποι γράφουν δυνάμεις χρησιμοποιώντας τα σύμβολα ^ ή **, έτσι 2^3 ή 2**3 σημαίνει 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ .

Ο αριθμός x {\displaystyle x} ονομάζεται βάση και ο αριθμός y {\displaystyle y} ονομάζεται εκθέτης. Για παράδειγμα, στο 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ , το 2 είναι η βάση και το 3 είναι ο εκθέτης.

Για να υπολογίσει κάποιος το 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ πρέπει να πολλαπλασιάσει τον αριθμό 2 επί τον εαυτό του 3 φορές. Έτσι 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Το αποτέλεσμα είναι 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Η εξίσωση θα μπορούσε να διαβαστεί φωναχτά ως εξής: 2 υψωμένο στη δύναμη του 3 ισούται με 8.

Παραδείγματα:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ για κάθε αριθμό x

Αν ο εκθέτης είναι ίσος με 2, τότε η δύναμη ονομάζεται τετράγωνο, επειδή το εμβαδόν ενός τετραγώνου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Έτσι

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ είναι το τετράγωνο του x {\displaystyle x}

Αν ο εκθέτης είναι ίσος με 3, τότε η δύναμη ονομάζεται κύβος, επειδή ο όγκος ενός κύβου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Έτσι

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ είναι ο κύβος του x {\displaystyle x}

Αν ο εκθέτης είναι ίσος με -1, τότε το άτομο πρέπει να υπολογίσει το αντίστροφο της βάσης. Έτσι

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Εάν ο εκθέτης είναι ακέραιος και είναι μικρότερος από 0, τότε το άτομο πρέπει να αντιστρέψει τον αριθμό και να υπολογίσει τη δύναμη. Για παράδειγμα:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Εάν ο εκθέτης είναι ίσος με 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ τότε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι η τετραγωνική ρίζα της βάσης. Άρα x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Παράδειγμα:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Ομοίως, αν ο εκθέτης είναι 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ το αποτέλεσμα είναι η n-οστή ρίζα, οπότε:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Αν ο εκθέτης είναι ένας ορθολογικός αριθμός p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ , τότε το αποτέλεσμα είναι η q-οστή ρίζα της βάσης ανυψωμένη στη δύναμη του p, οπότε:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Ο εκθέτης μπορεί να μην είναι καν λογικός. Για να αυξήσουμε μια βάση α σε μια ανορθολογική x-η δύναμη, χρησιμοποιούμε μια άπειρη ακολουθία ορθολογικών αριθμών (xi), της οποίας το όριο είναι το x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

όπως αυτό:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες που βοηθούν στον υπολογισμό των δυνάμεων:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τον εκθετικό αριθμό των πινάκων. Ο πίνακας πρέπει να είναι τετραγωνικός. Για παράδειγμα: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$

Commutativity

Τόσο η πρόσθεση όσο και ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικοί. Για παράδειγμα, το 2+3 είναι το ίδιο με το 3+2 και το 2 - 3 είναι το ίδιο με το 3 - 2. Αν και ο πολλαπλασιασμός είναι επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός, δεν είναι αντιμεταθετικός. Για παράδειγμα, 2³=8 αλλά 3²=9.

Αντίστροφες πράξεις

Η πρόσθεση έχει μια αντίστροφη πράξη: την αφαίρεση. Επίσης, ο πολλαπλασιασμός έχει μια αντίστροφη πράξη: τη διαίρεση.

Αλλά ο εκθετικός πολλαπλασιασμός έχει δύο αντίστροφες πράξεις: Η ρίζα και ο λογάριθμος. Αυτό συμβαίνει επειδή ο εκθετικός πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός. Μπορείτε να το δείτε αυτό σε αυτό το παράδειγμα:

Αν έχετε x+2=3, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αφαίρεση για να βρείτε ότι x=3-2. Το ίδιο ισχύει και αν έχετε 2+x=3: Μπορείτε επίσης να βρείτε x=3-2. Αυτό συμβαίνει επειδή το x+2 είναι το ίδιο με το 2+x.
Αν έχετε x - 2=3, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη διαίρεση για να βρείτε ότι x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Το ίδιο ισχύει και αν έχετε 2 - x=3: Θα έχετε επίσης x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Αυτό συμβαίνει επειδή το x - 2 είναι το ίδιο με το 2 - x
Αν έχετε x²=3, τότε χρησιμοποιείτε τη (τετραγωνική) ρίζα για να βρείτε το x: Παίρνετε το αποτέλεσμα x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Ωστόσο, αν έχετε ^2x=3, τότε δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη ρίζα για να βρείτε το x. Αντίθετα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον (δυαδικό) λογάριθμο για να βρείτε το x: Παίρνετε το αποτέλεσμα x=log2(3).

Σχετικές σελίδες

Εκθέτης

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι ο εκθετικός πολλαπλασιασμός;

Α: Ο εκθετικός πολλαπλασιασμός είναι μια αριθμητική πράξη σε αριθμούς που μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός.

Ε: Πώς γράφεται ο εκθετικός πολλαπλασιασμός;

Α: Ο εκθετικός πολλαπλασιασμός γράφεται συνήθως ως x^y, όπου x είναι η βάση και y ο εκθέτης. Μπορεί επίσης να γραφτεί χρησιμοποιώντας τα σύμβολα ^ ή **, όπως 2^4 ή 2**4.

Ερ: Ποια είναι μερικά παραδείγματα εκθετικοποίησης;

A: Παραδείγματα εκθετικοποίησης περιλαμβάνουν 5^3 = 5*5*5 = 125, x^2 = x*x, 1^x = 1 για κάθε αριθμό x και 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Ερ: Τι σημαίνει όταν ο εκθέτης είναι ίσος με -1;

Α: Όταν ο εκθέτης είναι ίσος με -1, τότε η δύναμη είναι απλώς το αντίστροφο της βάσης (x^(-1) = 1/x).

Ερ: Πώς υπολογίζετε μια άρρητη δύναμη μιας βάσης;

Α: Για να αυξήσουμε μια βάση α σε μια άρρητη x-η δύναμη, χρησιμοποιούμε μια άπειρη ακολουθία ορθολογικών αριθμών (xn), της οποίας το όριο είναι το x (a^x = lim n->άπειρο a^(x_n)).

Ερώτηση: Υπάρχουν κάποιοι κανόνες που διευκολύνουν τον υπολογισμό των εκθετών;

Α: Ναι, υπάρχουν διάφοροι κανόνες που κάνουν τον υπολογισμό των εκθετών ευκολότερο. Αυτοί περιλαμβάνουν: (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n- (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n- a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s)- και ούτω καθεξής.