Τετραγωνική ρίζα του 2
Η τετραγωνική ρίζα του 2 ή η (1/2)-η δύναμη του 2, που στα μαθηματικά γράφεται ως √2 ή 21⁄2 , είναι ο θετικός άρρητος αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, ισούται με τον αριθμό 2. Για να είμαστε πιο σωστοί, ονομάζεται κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, για να ξεχωρίζει από την αρνητική εκδοχή του εαυτού του, όπου ισχύει επίσης αυτό.
Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου σε ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους ένα- αυτό μπορεί να βρεθεί με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίση με το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με πόδια μήκους 1
Απόδειξη ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν είναι ορθολογική
Ο αριθμός 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
δεν είναι ορθολογικός. Ακολουθεί η απόδειξη.
- Υποθέστε ότι 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} είναι ορθολογικό. Έτσι υπάρχουν κάποιοι αριθμοί a , b {\displaystyle a,b}
τέτοιοι ώστε a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
- Μπορούμε να επιλέξουμε τα a και b έτσι ώστε είτε το a είτε το b να είναι περιττό. Αν το a και το b ήταν και τα δύο άρτια, τότε το κλάσμα θα μπορούσε να απλοποιηθεί (για παράδειγμα, αντί να γράψουμε 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
, θα μπορούσαμε να γράψουμε 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης τετραγωνιστούν, τότε έχουμε a2 / b2 = 2 και a2 = 2 b2 .
- Η δεξιά πλευρά είναι 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Αυτός ο αριθμός είναι ζυγός. Άρα και η αριστερή πλευρά πρέπει να είναι άρτιος. Άρα a 2 {\displaystyle a^{2}}
είναι ζυγός. Αν ένας περιττός αριθμός τετραγωνιστεί, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένας περιττός αριθμός. Και αν ένας ζυγός αριθμός τετραγωνιστεί, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένας ζυγός αριθμός. Άρα το {\displaystyle a}
είναι άρτιο. - Επειδή το a είναι άρτιο, μπορεί να γραφτεί ως εξής: a = 2 k {\displaystyle a=2k} .
- Χρησιμοποιείται η εξίσωση από το βήμα 3. Παίρνουμε 2b2 = (2k)2
- Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας κανόνας εκθετικοποίησης (βλ. το άρθρο) - το αποτέλεσμα είναι 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - Και οι δύο πλευρές διαιρούνται με το 2. Έτσι b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. Αυτό σημαίνει ότι το b {\displaystyle b}
είναι άρτιο. - Στο βήμα 2, είπαμε ότι το α είναι περιττό ή το β είναι περιττό. Αλλά στο βήμα 4, είπαμε ότι το α είναι ζυγό και στο βήμα 7, είπαμε ότι το β είναι ζυγό. Αν η υπόθεση που κάναμε στο βήμα 1 είναι αληθής, τότε όλα αυτά τα άλλα πράγματα πρέπει να είναι αληθή, αλλά επειδή διαφωνούν μεταξύ τους, δεν μπορούν να είναι όλα αληθή- αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση μας δεν είναι αληθής.
Δεν είναι αλήθεια ότι το 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} είναι ορθολογικός αριθμός. Άρα ο 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} είναι ανορθολογικός.
