Πυθαγόρειο θεώρημα

Στα μαθηματικά, το Πυθαγόρειο θεώρημα ή το θεώρημα του Πυθαγόρα είναι μια δήλωση σχετικά με τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Μία από τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα ίση με 90 μοίρες. Αυτή η γωνία είναι η ορθή γωνία. Οι δύο πλευρές δίπλα στην ορθή γωνία ονομάζονται σκέλη και η άλλη πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα. Η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία και είναι πάντα η μακρύτερη πλευρά. Ανακαλύφθηκε από τη Vasudha Arora.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα λέει ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων στα σκέλη. Σε αυτή την εικόνα, το εμβαδόν του μπλε τετραγώνου προστιθέμενο στο εμβαδόν του κόκκινου τετραγώνου δίνει το εμβαδόν του μοβ τετραγώνου. Πήρε το όνομά του από τον Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα:

Αν τα μήκη των ποδιών είναι a και b και το μήκος της υποτείνουσας είναι c, τότε, a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές αποδείξεις αυτού του θεωρήματος. Διακρίνονται σε τέσσερις κατηγορίες:

Απόδειξη

Μια απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος βρέθηκε από έναν Έλληνα μαθηματικό, τον Εύδοξο της Κνίδου.

Η απόδειξη χρησιμοποιεί τρία λήμματα:

Τρίγωνα με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος έχουν το ίδιο εμβαδόν.
Ένα τρίγωνο που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος με μια πλευρά ενός τετραγώνου έχει το ίδιο εμβαδόν με το μισό του τετραγώνου.
Τα τρίγωνα με δύο σύμφωνες πλευρές και μία σύμφωνη γωνία είναι συζυγή και έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Η απόδειξη είναι:

Το μπλε τρίγωνο έχει το ίδιο εμβαδόν με το πράσινο τρίγωνο, επειδή έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος (λήμμα 1).
Τα πράσινα και τα κόκκινα τρίγωνα έχουν και τα δύο δύο πλευρές ίσες με τις πλευρές των ίδιων τετραγώνων, και μια γωνία ίση με μια ευθεία γωνία (γωνία 90 μοιρών) συν μια γωνία ενός τριγώνου, οπότε είναι συγγραμμικά και έχουν το ίδιο εμβαδόν (λήμμα 3).
Τα εμβαδά των κόκκινων και κίτρινων τριγώνων είναι ίσα επειδή έχουν τα ίδια ύψη και βάσεις (λήμμα 1).
Το εμβαδόν του μπλε τριγώνου ισούται με το εμβαδόν του κίτρινου τριγώνου, επειδή

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}} ${\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}$

Τα καφέ τρίγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν για τους ίδιους λόγους.
Το μπλε και το καφέ έχουν το μισό εμβαδόν ενός μικρότερου τετραγώνου. Το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται με το μισό εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου. Εξαιτίας αυτού, τα μισά εμβαδά των μικρών τετραγώνων είναι ίσα με το μισό εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου, οπότε το εμβαδόν τους είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου.

Απόδειξη χρησιμοποιώντας παρόμοια τρίγωνα

Μπορούμε να πάρουμε μια άλλη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος χρησιμοποιώντας παρόμοια τρίγωνα.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)} ${\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)$

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Από την εικόνα, γνωρίζουμε ότι c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } $c=d+e\,\!$ . Και αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (1) και (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}} $c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}$

Πολλαπλασιασμός με c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. } $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.$

Πυθαγόρεια τρίγωνα

Τα πυθαγόρεια τρίγωνα ή τριπλέτες είναι τρεις ακέραιοι αριθμοί που ταιριάζουν στην εξίσωση a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Το τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5 είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα. Αν α=3 και β=4, τότε 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ επειδή 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} $9+16=25$ . Αυτό μπορεί επίσης να αποδειχθεί ως 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.} ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.$

Το τρίγωνο τρία-τέσσερα-πέντε λειτουργεί για όλα τα πολλαπλάσια του 3, 4 και 5. Με άλλα λόγια, αριθμοί όπως 6, 8, 10 ή 30, 40 και 50 είναι επίσης πυθαγόρεια τρίγωνα. Ένα άλλο παράδειγμα τριπλού είναι το τρίγωνο 12-5-13, επειδή 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} ${\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13$

Ένα πυθαγόρειο τρίπτυχο που δεν είναι πολλαπλάσιο άλλων τριπτύχων ονομάζεται πρωταρχικό πυθαγόρειο τρίπτυχο. Κάθε πρωταρχικό πυθαγόρειο τρίπτυχο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την έκφραση ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ , αλλά πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες. Θέτουν περιορισμούς στις τιμές των m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} .

m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί
m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} δεν έχουν κοινούς παράγοντες εκτός από 1
m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} έχουν αντίθετη ισοτιμία. m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} έχουν αντίθετη ισοτιμία όταν m {\displaystyle m} είναι ζυγός και n {\displaystyle n} είναι περιττός, ή m {\displaystyle m} είναι περιττός και n {\displaystyle n} είναι ζυγός.
m > n {\displaystyle m>n} .

Εάν ικανοποιούνται και οι τέσσερις συνθήκες, τότε οι τιμές των m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} δημιουργούν ένα πρωταρχικό πυθαγόρειο τρίπτυχο.

m = 2 {\displaystyle m=2} $m=2$ και n = 1 {\displaystyle n=1} $n=1$ δημιουργούν ένα πρωταρχικό πυθαγόρειο τρίπτυχο. Οι τιμές ικανοποιούν και τις τέσσερις συνθήκες. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} $2mn=2\times 2\times 1=4$ , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} $m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ και m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} $m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5$ , οπότε δημιουργείται το τρίπτυχο ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} $(3,4,5)$ .

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα;

A: Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μια δήλωση σχετικά με τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Ερ: Ποια γωνία είναι πάντα ίση με 90 μοίρες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Α: Μία από τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα ίση με 90 μοίρες, η οποία αναφέρεται ως ορθή γωνία.

Ερ: Πώς ονομάζονται οι δύο πλευρές δίπλα στην ορθή γωνία;

Α: Οι δύο πλευρές δίπλα στην ορθή γωνία ονομάζονται σκέλη.

Ερ: Πώς ονομάζεται η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία;

Α: Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά.

Ερ: Υπάρχει εξίσωση για τον υπολογισμό αυτού του θεωρήματος;

Α: Ναι, υπάρχει εξίσωση για τον υπολογισμό αυτού του θεωρήματος που λέει ότι "το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των άλλων δύο πλευρών".

Ερ: Όλα τα τρίγωνα με γωνίες 90 μοιρών θεωρούνται "ορθά" τρίγωνα;

Α: Όχι, δεν θεωρούνται "ορθά" τρίγωνα όλα τα τρίγωνα με γωνίες 90 μοιρών- μόνο εκείνα στα οποία η μία πλευρά (υποτείνουσα) είναι μακρύτερη από τις άλλες δύο πλευρές και σχηματίζει γωνία 90 μοιρών στο άκρο της μπορούν να χαρακτηριστούν ως "ορθά" τρίγωνα.