Σταθερή συνάρτηση

Βασικές ιδιότητες

Τυπικά, μια σταθερή συνάρτηση f(x):R→R έχει τη μορφή f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Συνήθως γράφουμε y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} ή απλά y = c {\displaystyle y=c} .

• Η συνάρτηση y=c έχει 2 μεταβλητές x και у και 1 σταθερά c. (Σε αυτή τη μορφή της συνάρτησης, δεν βλέπουμε το x, αλλά είναι εκεί.)

• Η σταθερά c είναι πραγματικός αριθμός. Πριν εργαστούμε με μια γραμμική συνάρτηση, αντικαθιστούμε το c με έναν πραγματικό αριθμό.
• Ο τομέας ή η είσοδος του y=c είναι το R. Επομένως, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός x μπορεί να εισαχθεί. Ωστόσο, η έξοδος είναι πάντα η τιμή c.
• Το εύρος του y=c είναι επίσης R. Ωστόσο, επειδή η έξοδος είναι πάντα η τιμή του c, η κωδικοπεριοχή είναι μόνο το c.

Παράδειγμα: Η συνάρτηση y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} ή απλά y = 4 {\displaystyle y=4}είναι η συγκεκριμένη σταθερή συνάρτηση όπου η τιμή εξόδου είναι c = 4 {\displaystyle c=4} . Το πεδίο εφαρμογής είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ℝ. Η κωδικοπεριοχή είναι απλώς {4}. Δηλαδή, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,.... Ανεξάρτητα από την τιμή του x που εισάγεται, η έξοδος είναι "4".

• Η γραφική παράσταση της σταθερής συνάρτησης y = c {\displaystyle y=c} είναι μια οριζόντια ευθεία στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Αν c≠0, η σταθερή συνάρτηση y=c είναι πολυώνυμο σε μία μεταβλητή x μηδενικού βαθμού.

• Η y-διακοπή αυτής της συνάρτησης είναι το σημείο (0,c).
• Αυτή η συνάρτηση δεν έχει x-διακοπή. Δηλαδή, δεν έχει ρίζα ή μηδέν. Δεν τέμνει ποτέ τον άξονα x.

• Αν c=0, τότε έχουμε y=0. Αυτό είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή η συνάρτηση με ταυτόσημο μηδέν. Κάθε πραγματικός αριθμός x είναι μια ρίζα. Η γραφική παράσταση του y=0 είναι ο άξονας x στο επίπεδο.
• Μια σταθερή συνάρτηση είναι μια άρτια συνάρτηση, οπότε ο άξονας y είναι ένας άξονας συμμετρίας για κάθε σταθερή συνάρτηση.

Παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης

Στο πλαίσιο όπου ορίζεται, η παράγωγος μιας συνάρτησης μετρά τον ρυθμό μεταβολής των τιμών της συνάρτησης (εξόδου) σε σχέση με τη μεταβολή των τιμών εισόδου. Μια σταθερή συνάρτηση δεν μεταβάλλεται, οπότε η παράγωγός της είναι 0. Αυτό γράφεται συχνά:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Παράδειγμα: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} είναι μια σταθερή συνάρτηση. Η παράγωγος της y είναι η πανομοιότυπα μηδενική συνάρτηση y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Το αντίστροφο (αντίθετο) είναι επίσης αληθές. Δηλαδή, αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι παντού μηδέν, τότε η συνάρτηση είναι μια σταθερή συνάρτηση.

Μαθηματικά γράφουμε αυτές τις δύο δηλώσεις:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\ Αριστερό βέλος \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\ για όλα τα x\in \mathbb {R} }

Γενίκευση

Μια συνάρτηση f : A → B είναι σταθερή συνάρτηση αν f(a) = f(b) για κάθε a και b στο A.

Παραδείγματα

Παράδειγμα πραγματικού κόσμου: Ένα κατάστημα όπου κάθε είδος πωλείται για 1 ευρώ. Το πεδίο εφαρμογής αυτής της συνάρτησης είναι τα αντικείμενα στο κατάστημα. Η συν-περιοχή είναι το 1 ευρώ.

Παράδειγμα: Έστω f : A → B όπου A={X,Y,Z,W} και B={1,2,3} και f(a)=3 για κάθε a∈A. Τότε η f είναι μια σταθερή συνάρτηση.

Παράδειγμα: z(x,y)=2 είναι η σταθερή συνάρτηση από το A=ℝ² στο B=ℝ όπου κάθε σημείο (x,y)∈ℝ² αντιστοιχίζεται στην τιμή z=2. Η γραφική παράσταση αυτής της σταθερής συνάρτησης είναι το οριζόντιο επίπεδο (παράλληλο με το επίπεδο x0y) στον τρισδιάστατο χώρο που διέρχεται από το σημείο (0,0,2).

Παράδειγμα: Η πολική συνάρτηση ρ(φ)=2,5 είναι η σταθερή συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε γωνία φ στην ακτίνα ρ=2,5. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι ο κύκλος ακτίνας 2,5 στο επίπεδο.

Άλλες ιδιότητες

Υπάρχουν και άλλες ιδιότητες των σταθερών συναρτήσεων. Βλέπε Σταθερή συνάρτηση στην αγγλική Βικιπαίδεια

Σχετικές σελίδες

• Λειτουργία
• Πολυώνυμο