Συνάρτηση

Πίνακες

Οι είσοδοι και οι έξοδοι μπορούν να τοποθετηθούν σε έναν πίνακα όπως στην εικόνα- αυτό είναι εύκολο αν δεν υπάρχουν πολλά δεδομένα.

Γραφήματα

Στην εικόνα φαίνεται ότι τόσο το 2 όσο και το 3 έχουν αντιστοιχιστεί με το c- αυτό δεν επιτρέπεται στην αντίθετη κατεύθυνση, το 2 δεν θα μπορούσε να βγάλει το c και το d, κάθε είσοδος μπορεί να έχει μόνο μία έξοδο. Όλες οι f ( x ) {\displaystyle f(x)} (c και d στην εικόνα) συνήθως ονομάζονται σύνολο εικόνας της f {\displaystyle f} και το σύνολο εικόνας μπορεί να είναι όλο το σύνολο της κωδικοπεριοχής ή όχι. Μπορούμε να πούμε ότι το υποσύνολο A της κωδικοπεριοχής με το σύνολο εικόνας είναι f(A). Αν οι είσοδοι και οι έξοδοι έχουν μια σειρά είναι εύκολο να τις σχεδιάσουμε σε ένα γράφημα: Με αυτόν τον τρόπο η εικόνα έρχεται στην εικόνα του συνόλου Α. Αυτό θα κάνει ένα και τα δύο 2 και 3 έχουν ζευγαρώσει με δεν επιτρέπεται στην άλλη κατεύθυνση,ακόμη και κάποιος μπορεί να κάνει μεταξύ codomain ή όχι. Ένα συμπέρασμα μπορεί να γίνει ότι το υποσύνολο Α του codomain είναι η εικόνα σύνολο είναι F(A).

Στη δεκαετία του 1690 ο Gottfried Leibniz και ο Johann Bernoulli χρησιμοποίησαν τη λέξη συνάρτηση με γράμματα μεταξύ τους, οπότε η σύγχρονη έννοια ξεκίνησε ταυτόχρονα με τον λογισμό.

Το 1748 ο Leonhard Euler έδωσε: "Μια συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση που αποτελείται με οποιονδήποτε τρόπο από τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες." και στη συνέχεια το 1755: "Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται κατά τέτοιο τρόπο από άλλες ποσότητες, ώστε αν οι τελευταίες μεταβληθούν, οι πρώτες υφίστανται μεταβολή, τότε οι πρώτες ποσότητες ονομάζονται συναρτήσεις των δεύτερων. Αυτός ο ορισμός εφαρμόζεται μάλλον ευρέως και περιλαμβάνει όλους τους τρόπους με τους οποίους μια ποσότητα θα μπορούσε να καθορίζεται από μια άλλη. Αν, επομένως, το x δηλώνει μια μεταβλητή ποσότητα, τότε όλες οι ποσότητες που εξαρτώνται από το x με οποιονδήποτε τρόπο ή προσδιορίζονται από αυτό, ονομάζονται συναρτήσεις του x." που είναι πολύ σύγχρονο.

Συνήθως, στον Ντίριχλετ αποδίδεται η εκδοχή που χρησιμοποιήθηκε στα σχολεία μέχρι το δεύτερο μισό του 20ού αιώνα: "Η y είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής x, που ορίζεται στο διάστημα a < x < b, αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής x στο διάστημα αυτό αντιστοιχεί μια ορισμένη τιμή της μεταβλητής y. Επίσης, δεν έχει σημασία με ποιον τρόπο εγκαθιδρύεται αυτή η αντιστοιχία".

Το 1939, ο Μπουρμπακί γενίκευσε τον ορισμό του Ντίριχλετ και έδωσε μια θεωρητική εκδοχή του ορισμού ως αντιστοιχία μεταξύ εισροών και εκροών- αυτό χρησιμοποιήθηκε στα σχολεία από το 1960 περίπου.

Τελικά το 1970, ο Bourbaki έδωσε τον σύγχρονο ορισμό ως ένα τρίπτυχο f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} , με F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F} (δηλαδή f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} και F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}} ).

• Στοιχειώδεις συναρτήσεις - Οι συναρτήσεις που συνήθως μελετώνται στο σχολείο: κλάσματα, τετραγωνικές ρίζες, ημιτόνιο, συνημίτονο και εφαπτομένη και ορισμένες άλλες συναρτήσεις.
• Μη στοιχειώδεις συναρτήσεις - Οι περισσότερες από αυτές δεν χρησιμοποιούν πράξεις που δεν μαθαίνουμε στο σχολείο (όπως + ή -, ή δυνάμεις). Πολλά ολοκληρώματα είναι μη στοιχειώδεις.
• Αντίστροφες συναρτήσεις - Συναρτήσεις που αναιρούν μια άλλη συνάρτηση. Για παράδειγμα: αν η F(x) είναι η αντίστροφη της f(x)=y, τότε F(y)=x. Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις αντίστροφες.
• Ειδικές λειτουργίες: Συναρτήσεις που έχουν ονόματα. Για παράδειγμα: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Συναρτήσεις όπως f(x)=3x (τρεις φορές το x) δεν ονομάζονται ειδικές συναρτήσεις. Μπορούν να είναι στοιχειώδεις, μη στοιχειώδεις ή αντίστροφες.