Κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο

Στα μαθηματικά, ένα κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο (ή πολυχώρο) είναι ένα 4-διάστατο (4D) πολύτοπο το οποίο είναι και κανονικό και κυρτό. Πρόκειται για τα τετραδιάστατα ανάλογα των πλατωνικών στερεών (σε τρεις διαστάσεις) και των κανονικών πολυγώνων (σε δύο διαστάσεις).

Αυτά τα πολύτοπα περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα. Ο Schläfli ανακάλυψε ότι υπάρχουν ακριβώς έξι τέτοια σχήματα. Πέντε από αυτά μπορούν να θεωρηθούν ως ανάλογα υψηλότερης διάστασης των πλατωνικών στερεών. Υπάρχει ένα επιπλέον σχήμα (το 24-κύτταρο) το οποίο δεν έχει τρισδιάστατο ισοδύναμο.

Κάθε κυρτό κανονικό 4πολύτοπο οριοθετείται από ένα σύνολο τρισδιάστατων κελιών που είναι όλα πλατωνικά στερεά του ίδιου τύπου και μεγέθους. Αυτά συναρμολογούνται μεταξύ τους κατά μήκος των αντίστοιχων επιφανειών τους με κανονικό τρόπο.

Ιδιότητες

Στους πίνακες που ακολουθούν παρατίθενται ορισμένες ιδιότητες των έξι κυρτών κανονικών πολυχώρων. Οι ομάδες συμμετρίας αυτών των πολυχώρων είναι όλες ομάδες Coxeter και δίνονται με τον συμβολισμό που περιγράφεται στο εν λόγω άρθρο. Ο αριθμός που ακολουθεί το όνομα της ομάδας είναι η τάξη της ομάδας.

Ονόματα	Οικογένεια	Schläfli σύμβολο	Κορυφές	Ακμές	Πρόσωπα	Κύτταρα	Στοιχεία κορυφής	Διπλό πολύτοπο	Ομάδα συμμετρίας
Pentachoron5-cellpentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 τρίγωνα	5 τετράεδρα	τετράεδρα	(αυτο-δυαδική)	A₄	120
Τεσσεράκτιο-κταχώριο8-κύτταρο-υπερκύβος4-κύβος	υπερκύβος (n-κύβος)	{4,3,3}	16	32	24 τετράγωνα	8 κύβοι	τετράεδρα	16-κύτταρο	B₄	384
Hexadecachoron16-cellorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex	cross-polytope (n-orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 τρίγωνα	16 τετράεδρα	οκτάεδρα	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 τρίγωνα	24 οκτάεδρα	κύβοι	(αυτο-δυαδική)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-κύτταραdodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron		{5,3,3}	600	1200	720 πεντάγωνα	120 δωδεκάεδρα	τετράεδρα	600 κυψελών	H₄	14400
Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron		{3,3,5}	120	720	1200 τρίγωνα	600 τετράεδρα	icosahedra	120 κυψελών	H₄	14400

Δεδομένου ότι τα όρια κάθε ενός από αυτά τα σχήματα είναι τοπολογικά ισοδύναμα με μια 3-σφαίρα, της οποίας η χαρακτηριστική Euler είναι μηδέν, έχουμε το 4-διάστατο ανάλογο του πολυεδρικού τύπου του Euler:

N 0- N +1 N2 - N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

όπου το Ν_k συμβολίζει τον αριθμό των k όψεων του πολυτόπου (μια κορυφή είναι μια 0-όψη, μια ακμή είναι μια 1-όψη, κ.λπ.).

Οπτικοποιήσεις

Ο ακόλουθος πίνακας παρουσιάζει ορισμένες προβολές 2 διαστάσεων αυτών των πολυτόπων. Διάφορες άλλες απεικονίσεις μπορείτε να βρείτε στους άλλους δικτυακούς τόπους παρακάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των διαγραμμάτων Coxeter-Dynkin δίνονται επίσης κάτω από το σύμβολο Schläfli.

5-κύτταρο	8-κύτταρο	16-κύτταρο	24 κυψελών	120 κυψελών	600 κυψελών
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ορθογραφικές προβολές συρματοπλέγματος μέσα σε πολύγωνα Petrie.

Στερεές ορθογραφικές προβολές
τετραεδρικός φάκελος (κυψελωτός/ κορυφοκεντρικός)	κυβικός φάκελος (κυψελοκεντρικός)	οκταεδρικός φάκελος (με κέντρο κορυφής)	κυβοκταεδρικός φάκελος (κυτταροκεντρικός)	περικομμένο ρομβοειδές τετράεδρο (κυτταροκεντρικό)	Πεντάκης εικοσιδωδεκαεδρικός φάκελος (με κέντρο κορυφής)
Διαγράμματα Schlegel (Προοπτική προβολή)
(κυτταροκεντρικό)	(κυτταροκεντρικό)	(κυτταροκεντρικό)	(κυτταροκεντρικό)	(κυτταροκεντρικό)	(με επίκεντρο την κορυφή)
Στερεογραφικές προβολές συρματοπλέγματος (υπερσφαιρικές)

Σχετικές σελίδες

Κανονικό πολύτοπο
Πλατωνικό στερεό

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι ένα κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο;

A: Ένα κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο είναι ένα 4-διάστατο πολύτοπο που είναι και κανονικό και κυρτό.

Ερ: Ποια είναι τα ανάλογα των κυρτών κανονικών 4-πολυτόπων στις τρεις και στις δύο διαστάσεις;

Α: Τα ανάλογα των κυρτών κανονικών 4-πολυτόπων στις τρεις διαστάσεις είναι τα πλατωνικά στερεά, ενώ στις δύο διαστάσεις είναι τα κανονικά πολύγωνα.

Ερ: Ποιος περιέγραψε πρώτος τα κυρτά κανονικά 4-πολύτοπα;

Α: Ο Ελβετός μαθηματικός Ludwig Schläfli περιέγραψε για πρώτη φορά κυρτά κανονικά 4-πολύτοπα στα μέσα του 19ου αιώνα.

Ερ: Πόσα κυρτά κανονικά 4-πολύτοπα υπάρχουν;

Α: Υπάρχουν ακριβώς έξι κυρτά κανονικά 4-πολύτοπα.

Ερ: Ποιο είναι το μοναδικό χαρακτηριστικό του πολυτόπου 24 κελιών μεταξύ των κυρτών κανονικών 4-πολυτόπων;

Α: Το 24-κυψελωτό πολύτοπο δεν έχει τρισδιάστατο ισοδύναμο μεταξύ των κυρτών κανονικών 4-πολύτοπων.

Ερ: Ποια είναι τα τρισδιάστατα κελιά που οριοθετούν κάθε κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο;

Α: Κάθε κυρτό κανονικό 4πολύτοπο οριοθετείται από ένα σύνολο τρισδιάστατων κελιών που είναι όλα πλατωνικά στερεά του ίδιου τύπου και μεγέθους.

Ερ: Πώς συναρμολογούνται μεταξύ τους τα τρισδιάστατα κελιά σε ένα κυρτό κανονικό 4-πολύτοπο;

Α: Τα τρισδιάστατα κελιά προσαρμόζονται μεταξύ τους κατά μήκος των αντίστοιχων επιφανειών τους με κανονικό τρόπο σε ένα κυρτό κανονικό 4πολύτοπο.