Υπερκύβος
Στη γεωμετρία, ο υπερκύβος είναι ένα ανάλογο n-διαστάσεων του τετραγώνου (n=2) και του κύβου (n=3). Είναι ένα κλειστό, συμπαγές, κυρτό σχήμα του οποίου το 1-σκελετό αποτελείται από ομάδες απέναντι παράλληλων τμημάτων ευθείας που είναι ευθυγραμμισμένα σε κάθε μια από τις διαστάσεις του χώρου, κάθετα μεταξύ τους και με το ίδιο μήκος. Η μεγαλύτερη διαγώνιος ενός μοναδιαίου υπερκύβου στη διάσταση n είναι ίση με n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 
.
Ένας n-διάστατος υπερκύβος ονομάζεται επίσης n-κύβος ή n-διάστατος κύβος. Χρησιμοποιείται επίσης ο όρος "πολυτόπιο μέτρου", κυρίως στο έργο του H. S. M. Coxeter (αρχικά από τον Elte, 1912), αλλά έχει πλέον αντικατασταθεί.
Ο υπερκύβος είναι η ειδική περίπτωση ενός υπερορθογωνίου (που ονομάζεται επίσης n-ορθότοπος).
Ένας μοναδιαίος υπερκύβος είναι ένας υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά, ο υπερκύβος του οποίου οι γωνίες (ή κορυφές) είναι τα 2n σημεία στον Rn με κάθε συντεταγμένη ίση με 0 ή 1 ονομάζεται "ο" μοναδιαίος υπερκύβος.
Κατασκευή
Ένας υπερκύβος μπορεί να οριστεί αυξάνοντας τον αριθμό των διαστάσεων ενός σχήματος:
0 - Ένα σημείο είναι ένας υπερκύβος μηδενικής διάστασης.
1 - Αν μετακινήσουμε αυτό το σημείο κατά μία μονάδα μήκους, θα σαρώσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο είναι ένας μοναδιαίος υπερκύβος διάστασης ένα.
2 - Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα κατά το μήκος του σε μια κάθετη κατεύθυνση από τον εαυτό του- σαρώνει ένα δισδιάστατο τετράγωνο.
3 - Αν μετακινήσουμε το τετράγωνο κατά μία μονάδα μήκους προς την κατεύθυνση που είναι κάθετη στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται, θα δημιουργηθεί ένας τρισδιάστατος κύβος.
4 - Αν μετακινήσουμε τον κύβο κατά μία μονάδα μήκους στην τέταρτη διάσταση, δημιουργείται ένας τετραδιάστατος μοναδιαίος υπερκύβος (ένα μοναδιαίο τεσσεράκτιο).
Αυτό μπορεί να γενικευτεί σε οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων. Αυτή η διαδικασία σάρωσης όγκων μπορεί να τυποποιηθεί μαθηματικά ως άθροισμα Μινκόφσκι: ο υπερκύβος d-διαστάσεων είναι το άθροισμα Μινκόφσκι d αμοιβαία κάθετων τμημάτων γραμμής μοναδιαίου μήκους, και επομένως αποτελεί παράδειγμα ζωνότοπου.
Ο 1-σκελετός ενός υπερκύβου είναι ένα γράφημα υπερκύβου.
Ένα διάγραμμα που δείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα τεσσεράκτιο από ένα σημείο.
Ένα animation που δείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα τεσσεράκτιο από ένα σημείο.
Σχετικές σελίδες
- Simplex - το n-διάστατο ανάλογο του τριγώνου
- Υπερ-ορθογώνιο - η γενική περίπτωση του υπερκύβου, όπου η βάση είναι ένα ορθογώνιο.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι ένας υπερκύβος;
A: Ο υπερκύβος είναι ένα ανάλογο n-διαστάσεων του τετραγώνου (n=2) και του κύβου (n=3). Είναι ένα κλειστό, συμπαγές, κυρτό σχήμα του οποίου ο 1-σκελετός αποτελείται από ομάδες αντίθετων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων ευθυγραμμισμένων σε κάθε μία από τις διαστάσεις του χώρου, κάθετων μεταξύ τους και ίδιου μήκους.
Ερ: Ποια είναι η μεγαλύτερη διαγώνιος σε έναν υπερκύβο n-διαστάσεων;
A: Η μεγαλύτερη διαγώνιος σε έναν n-διάστατο υπερκύβο είναι ίση με n {\displaystyle {\sqrt {n}}.
Ερ: Υπάρχει άλλος όρος για έναν n-διάστατο υπερκύβο;
Α: Ένας n-διάστατος υπερκύβος ονομάζεται επίσης n-κύβος ή n-διάστατος κύβος. Χρησιμοποιήθηκε επίσης ο όρος "πολυτόπιο μέτρου", αλλά έχει πλέον αντικατασταθεί.
Ερ: Τι σημαίνει "μοναδιαίος υπερκύβος";
A: Ένας μοναδιαίος υπερκύβος είναι ένας υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά, ο μοναδιαίος υπερκύβος αναφέρεται στη συγκεκριμένη περίπτωση όπου όλες οι γωνίες έχουν συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1.
Ερ: Πώς μπορούμε να ορίσουμε ένα "υπερ-ορθογώνιο";
Α: Ένα υπερορθογώνιο (που ονομάζεται επίσης n-ορθογώνιο) ορίζεται ως η γενική περίπτωση ενός υπερκύβου.
