Ορίζουσα

Υπάρχουν μερικοί τρόποι για να καταλάβουμε τι λέει ο προσδιοριστής για τον πίνακα.

Γεωμετρική ερμηνεία

Ένας n × n {\displaystyle n\times n} πίνακας μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφει έναν γραμμικό χάρτη σε n {\displaystyle n} διαστάσεις. Σε αυτή την περίπτωση, ο προσδιοριστής σας λέει τον παράγοντα με τον οποίο αυτός ο πίνακας κλιμακώνει (μεγαλώνει ή συρρικνώνεται) μια περιοχή του n {\displaystyle n} -διάστατου χώρου.

Για παράδειγμα, ένας πίνακας 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A {\displaystyle A} , θεωρούμενος ως γραμμικός χάρτης, θα μετατρέψει ένα τετράγωνο στον δισδιάστατο χώρο σε παραλληλόγραμμο. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου θα είναι det ( A ) {\displaystyle \det(A)} φορές μεγαλύτερο από το εμβαδόν του τετραγώνου.

Με τον ίδιο τρόπο, ένας πίνακας 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B} , θεωρούμενος ως γραμμικός χάρτης, θα μετατρέψει έναν κύβο στον τρισδιάστατο χώρο σε παραλληλεπίπεδο. Ο όγκος αυτού του παραλληλεπιπέδου θα είναι det ( B ) {\displaystyle \det(B)} φορές μεγαλύτερος από τον όγκο του κύβου.

Ο προσδιοριστής μπορεί να είναι αρνητικός. Ένας γραμμικός χάρτης μπορεί να τεντώσει και να κλιμακώσει έναν όγκο, αλλά μπορεί επίσης να τον αντανακλάσει πάνω σε έναν άξονα. Κάθε φορά που συμβαίνει αυτό, το πρόσημο του προσδιοριστή αλλάζει από θετικό σε αρνητικό ή από αρνητικό σε θετικό. Ένας αρνητικός προσδιοριστής σημαίνει ότι ο όγκος αντικατοπτρίστηκε πάνω σε περιττό αριθμό αξόνων.

Ερμηνεία "Σύστημα εξισώσεων"

Μπορείτε να δείτε έναν πίνακα ως περιγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Αυτό το σύστημα έχει μια μοναδική μη τετριμμένη λύση ακριβώς όταν ο προσδιοριστής δεν είναι 0. (Μη τετριμμένη σημαίνει ότι η λύση δεν είναι απλώς όλα τα μηδενικά).

Αν ο προσδιοριστής είναι μηδέν, τότε είτε δεν υπάρχει μοναδική μη τετριμμένη λύση, είτε υπάρχουν άπειρες.

Ένας πίνακας έχει αντίστροφο πίνακα ακριβώς όταν ο προσδιοριστής δεν είναι 0. Για το λόγο αυτό, ένας πίνακας με μη μηδενικό προσδιοριστή ονομάζεται αντιστρέψιμος. Αν ο προσδιοριστής είναι 0, τότε ο πίνακας ονομάζεται μη αντιστρέψιμος ή singular.

Γεωμετρικά, μπορείτε να σκεφτείτε ότι ένας μοναδιαίος πίνακας "ισοπεδώνει" το παραλληλεπίπεδο σε παραλληλόγραμμο ή το παραλληλόγραμμο σε γραμμή. Τότε ο όγκος ή το εμβαδόν είναι 0, και δεν υπάρχει γραμμικός χάρτης που να επαναφέρει το παλιό σχήμα.

Υπάρχουν μερικοί τρόποι υπολογισμού ενός προσδιοριστή.

Τύποι για μικρούς πίνακες

• Για τους πίνακες 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} και 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2}, μπορείτε να θυμάστε τους τύπους:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Για πίνακες 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}, ο τύπος είναι:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Sarrus (βλ. εικόνα) για να θυμάστε αυτόν τον τύπο.

Επέκταση του συμπαράγοντα

Για μεγαλύτερους πίνακες, ο προσδιοριστής είναι πιο δύσκολο να υπολογιστεί. Ένας τρόπος για να το κάνετε αυτό ονομάζεται επέκταση του συντελεστή.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} . Πρώτα, επιλέγουμε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη του πίνακα. Για κάθε αριθμό a i j {\displaystyle a_{ij}} σε αυτή τη γραμμή ή στήλη, υπολογίζουμε κάτι που ονομάζεται συντελεστής του C i j {\displaystyle C_{ij}} . Τότε det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Για τον υπολογισμό ενός τέτοιου συμπαράγοντα C i j {\displaystyle C_{ij}} , διαγράφουμε τη γραμμή i {\displaystyle i} και τη στήλη j {\displaystyle j} από τον πίνακα A {\displaystyle A} . Αυτό μας δίνει έναν μικρότερο ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} πίνακα. Τον ονομάζουμε M {\displaystyle M} . Ο συντελεστής C i j {\displaystyle C_{ij}} ισούται τότε με ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα συνδιαστολής της αριστερής στήλης ενός πίνακα 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}}

Όπως μπορείτε να δείτε εδώ, μπορούμε να εξοικονομήσουμε εργασία επιλέγοντας μια γραμμή ή στήλη που έχει πολλά μηδενικά. Αν το a i j {\displaystyle a_{ij}} είναι 0, δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το C i j {\displaystyle C_{ij}} .

• Τόμος