Πίνακας (μαθηματικά)

Οι οριζόντιες γραμμές σε έναν πίνακα ονομάζονται γραμμές και οι κάθετες γραμμές ονομάζονται στήλες. Ένας πίνακας με m γραμμές και n στήλες ονομάζεται πίνακας m επί n (ή πίνακας m×n) και τα m και n ονομάζονται διαστάσεις του.

Οι θέσεις στον πίνακα όπου βρίσκονται οι αριθμοί ονομάζονται καταχωρήσεις. Η είσοδος ενός πίνακα A που βρίσκεται στον αριθμό γραμμής i και στον αριθμό στήλης j ονομάζεται είσοδος i,j του A. Αυτό γράφεται ως A[i,j] ή _ai,j.

Γράφουμε A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} για να ορίσουμε έναν πίνακα A m × n με κάθε εγγραφή στον πίνακα να ονομάζεται _ai,j για όλα τα 1 ≤ i ≤ m και 1 ≤ j ≤ n.

Παράδειγμα

Ο πίνακας

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}

είναι ένας πίνακας 4×3. Ο πίνακας αυτός έχει m=4 γραμμές και n=3 στήλες.

Το στοιχείο A[2,3] ή a2_,3 είναι 7.

Προσθήκη

Το άθροισμα δύο πινάκων είναι ο πίνακας, του οποίου η (i,j)-οστή εγγραφή είναι ίση με το άθροισμα των (i,j)-οστών εγγραφών δύο πινάκων:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Οι δύο πίνακες έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Εδώ ισχύει A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}.

Πολλαπλασιασμός δύο πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων είναι λίγο πιο περίπλοκος:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 )] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\end{bmatrix}}}

Έτσι και με τους αριθμούς:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\\1&4\\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους ακόμη και αν έχουν διαφορετικές διαστάσεις, εφόσον ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα.
• το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, που ονομάζεται προϊόν, είναι ένας άλλος πίνακας με τον ίδιο αριθμό γραμμών με τον πρώτο πίνακα και τον ίδιο αριθμό στηλών με τον δεύτερο πίνακα.
• ο πολλαπλασιασμός των πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, πράγμα που σημαίνει γενικά ότι A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• ο πολλαπλασιασμός των πινάκων είναι συσχετιστικός, που σημαίνει ότι ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Υπάρχουν ορισμένοι πίνακες που είναι ιδιαίτεροι.

Τετραγωνικός πίνακας

Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, οπότε m=n.

Ένα παράδειγμα τετραγωνικού πίνακα είναι

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\end{bmatrix}}}

Ο πίνακας αυτός έχει 3 γραμμές και 3 στήλες: m=n=3.

Ταυτότητα

Κάθε σύνολο τετραγωνικής διάστασης ενός πίνακα έχει ένα ειδικό αντίστοιχο που ονομάζεται "πίνακας ταυτότητας". Ο πίνακας ταυτότητας έχει μόνο μηδενικά εκτός από την κύρια διαγώνιο, όπου υπάρχουν μόνο μονάδες. Για παράδειγμα:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\0&0\0&1\\\\\\end{bmatrix}}

είναι ένας πίνακας ταυτότητας. Υπάρχει ακριβώς ένας πίνακας ταυτότητας για κάθε σύνολο τετραγωνικών διαστάσεων. Ένας πίνακας ταυτότητας είναι ιδιαίτερος επειδή όταν πολλαπλασιάζεται οποιοσδήποτε πίνακας με τον πίνακα ταυτότητας, το αποτέλεσμα είναι πάντα ο αρχικός πίνακας χωρίς καμία αλλαγή.

Αντίστροφη μήτρα

Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας πίνακας που, όταν πολλαπλασιάζεται με έναν άλλο πίνακα, ισούται με τον πίνακα ταυτότητας. Για παράδειγμα:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\\0&1\\\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}}} είναι το αντίστροφο του [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}} .

Ο τύπος για τον αντίστροφο ενός πίνακα 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\\z&v\end{bmatrix}} είναι:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}}

Όπου d e t {\displaystyle det} είναι ο προσδιοριστής του πίνακα. Σε έναν πίνακα 2x2, ο προσδιοριστής είναι ίσος με:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Πίνακας μιας στήλης

Ένας πίνακας που έχει πολλές γραμμές, αλλά μόνο μία στήλη, ονομάζεται διάνυσμα στήλης.

Ο προσδιοριστής παίρνει έναν τετραγωνικό πίνακα και υπολογίζει έναν απλό αριθμό, ένα κλιμάκιο. Για να καταλάβετε τι σημαίνει αυτός ο αριθμός, πάρτε κάθε στήλη του πίνακα και σχεδιάστε την ως διάνυσμα. Το παραλληλόγραμμο που σχεδιάζεται από αυτά τα διανύσματα έχει ένα εμβαδόν, το οποίο είναι ο προσδιοριστής. Για όλους τους πίνακες 2x2, ο τύπος είναι πολύ απλός: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Για πίνακες 3x3 ο τύπος είναι πιο περίπλοκος: ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Δεν υπάρχουν απλές φόρμουλες για τους προσδιοριστές των μεγαλύτερων πινάκων και πολλοί προγραμματιστές μελετούν πώς να βάζουν τους υπολογιστές να βρίσκουν γρήγορα μεγάλους προσδιοριστές.

Ιδιότητες των προσδιοριστών

Υπάρχουν τρεις κανόνες που ακολουθούν όλοι οι προσδιοριστικοί παράγοντες. Αυτοί είναι:

• Ο προσδιοριστής ενός πίνακα ταυτότητας είναι 1
• Εάν δύο γραμμές ή δύο στήλες του πίνακα ανταλλάσσονται, τότε ο προσδιοριστής πολλαπλασιάζεται με -1. Οι μαθηματικοί το ονομάζουν αυτό εναλλασσόμενο.
• Αν όλοι οι αριθμοί σε μια γραμμή ή στήλη πολλαπλασιαστούν με έναν άλλο αριθμό n, τότε ο προσδιοριστής πολλαπλασιάζεται με το n. Επίσης, αν ένας πίνακας M έχει μια στήλη v που είναι το άθροισμα δύο πινάκων στήλης v 1 {\displaystyle v_{1}} και v 2 {\displaystyle v_{2}} , τότε ο προσδιοριστής του M είναι το άθροισμα των προσδιοριστών του M με v 1 {\displaystyle v_{1}} στη θέση του v και του M με v 2 {\displaystyle v_{2}} στη θέση του v. Αυτές οι δύο συνθήκες ονομάζονται πολυγραμμικότητα.

• Γραμμική άλγεβρα
• Αριθμητική γραμμική άλγεβρα