Παραλληλεπίπεδο

Οποιοδήποτε από τα τρία ζεύγη παράλληλων επιφανειών μπορεί να θεωρηθεί ως το επίπεδο βάσης του πρίσματος. Ένα παραλληλεπίπεδο έχει τρία σύνολα τεσσάρων παράλληλων ακμών- οι ακμές μέσα σε κάθε σύνολο είναι ίσου μήκους.

Τα παραλληλεπίπεδα προκύπτουν από γραμμικούς μετασχηματισμούς ενός κύβου (για τις μη εκφυλισμένες περιπτώσεις: οι διμερείς γραμμικοί μετασχηματισμοί).

Δεδομένου ότι κάθε όψη έχει σημειακή συμμετρία, το παραλληλεπίπεδο είναι ένα ζώον. Επίσης, ολόκληρο το παραλληλεπίπεδο έχει σημειακή συμμετρία _Ci (βλέπε επίσης τρικλινές). Κάθε όψη είναι, από έξω, το είδωλο της απέναντι όψης. Οι επιφάνειες είναι γενικά χειρόμορφες, αλλά το παραλληλεπίπεδο δεν είναι.

Είναι δυνατή μια χωροταξική τασέλαση με σύμμορφα αντίγραφα οποιουδήποτε παραλληλεπιπέδου.

Ο όγκος ενός παραλληλεπιπέδου είναι το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του Α και του ύψους του h. Η βάση είναι οποιαδήποτε από τις έξι επιφάνειες του παραλληλεπιπέδου. Το ύψος είναι η κάθετη απόσταση μεταξύ της βάσης και της απέναντι όψης.

Μια εναλλακτική μέθοδος ορίζει τα διανύσματα a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) και c = (c1, c2, c3) για να αναπαραστήσει τρεις ακμές που συναντώνται σε μια κορυφή. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου ισούται τότε με την απόλυτη τιμή του κλιμακωτού τριπλού γινομένου a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Αυτό ισχύει επειδή, αν επιλέξουμε τα b και c να αντιπροσωπεύουν τις ακμές της βάσης, το εμβαδόν της βάσης είναι, σύμφωνα με τον ορισμό του διασταυρούμενου γινομένου (βλέπε γεωμετρική έννοια του διασταυρούμενου γινομένου),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ b και c και το ύψος είναι

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

όπου α είναι η εσωτερική γωνία μεταξύ α και h.

Από το σχήμα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μέγεθος του α περιορίζεται σε 0° ≤ α < 90°. Αντίθετα, το διάνυσμα β × γ μπορεί να σχηματίσει με το α εσωτερική γωνία β μεγαλύτερη από 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Δηλαδή, εφόσον το b × c είναι παράλληλο προς το h, η τιμή του β είναι είτε β = α είτε β = 180° - α. Έτσι

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

και

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Συμπεραίνουμε ότι

V = A h = | a | | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

το οποίο είναι, σύμφωνα με τον ορισμό του κλιμακωτού γινομένου (ή γινομένου τελείας), ισοδύναμο με την απόλυτη τιμή του a - (b × c), Q.E.D.

Η τελευταία έκφραση είναι επίσης ισοδύναμη με την απόλυτη τιμή του καθοριστικού παράγοντα ενός τρισδιάστατου πίνακα που κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας τα a, b και c ως γραμμές (ή στήλες):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Αυτό βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer σε τρεις μειωμένους δισδιάστατους πίνακες που βρέθηκαν από τον αρχικό.

Αν α, β και γ είναι τα μήκη των ακμών του παραλληλεπιπέδου και α, β και γ οι εσωτερικές γωνίες μεταξύ των ακμών, ο όγκος είναι

V = α β γ 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Αντίστοιχο τετράεδρο

Ο όγκος κάθε τετραέδρου που μοιράζεται τρεις συγκλίνουσες ακμές ενός παραλληλεπιπέδου έχει όγκο ίσο με το ένα έκτο του όγκου του παραλληλεπιπέδου (βλέπε απόδειξη).

Για τα παραλληλεπίπεδα με επίπεδο συμμετρίας υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

• έχει τέσσερις ορθογώνιες επιφάνειες
• έχει δύο ρομβοειδείς επιφάνειες, ενώ από τις άλλες επιφάνειες, οι δύο γειτονικές είναι ίσες και οι άλλες δύο επίσης (τα δύο ζεύγη είναι το καθρέφτισμα το ένα του άλλου).

Βλέπε επίσης μονοκλινές.

Ένα ορθογώνιο κυβοειδές, που ονομάζεται επίσης ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ή μερικές φορές απλά κυβοειδές, είναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου όλες οι επιφάνειες είναι ορθογώνιες- ένας κύβος είναι ένα κυβοειδές με τετράγωνες επιφάνειες.

Ένα ρομβοεδρικό σχήμα είναι ένα παραλληλεπίπεδο με όλες τις ρομβοειδείς επιφάνειες- ένα τριγωνικό τραπέζιο είναι ένα ρομβοεδρικό σχήμα με σύμφωνες ρομβοειδείς επιφάνειες.

Ένα τέλειο παραλληλεπίπεδο είναι ένα παραλληλεπίπεδο με ακμές ακέραιου μήκους, διαγώνιες όψης και διαγώνιες χώρου. Το 2009, δεκάδες τέλεια παραλληλεπίπεδα αποδείχθηκε ότι υπάρχουν, απαντώντας σε ένα ανοιχτό ερώτημα του Richard Guy. Ένα παράδειγμα έχει ακμές 271, 106 και 103, δευτερεύουσες διαγωνίους όψης 101, 266 και 255, κύριες διαγωνίους όψης 183, 312 και 323 και διαγωνίους χώρου 374, 300, 278 και 272.

Είναι γνωστά μερικά τέλεια παραλληλόγραμμα που έχουν δύο ορθογώνιες επιφάνειες. Δεν είναι όμως γνωστό αν υπάρχουν τέτοια με όλες τις επιφάνειες ορθογώνιες- μια τέτοια περίπτωση θα ονομαζόταν τέλειο κυβοειδές.

Ο Coxeter ονόμασε τη γενίκευση ενός παραλληλεπιπέδου σε υψηλότερες διαστάσεις παραλληλότοπο.

Συγκεκριμένα στον n-διάστατο χώρο ονομάζεται n-διάστατος παραλληλότοπος ή απλά n-παραλληλότοπος. Έτσι, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα 2-παραλληλότοπο και ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα 3-παραλληλότοπο.

Γενικότερα, ένα παραλληλότοπο, ή παραλληλότοπο Voronoi, έχει παράλληλες και σύμφωνες αντίθετες όψεις. Έτσι, ένα 2-παραλληλότοπο είναι ένα παραλληλόγραμμο που μπορεί επίσης να περιλαμβάνει ορισμένα εξάγωνα, και ένα 3-παραλληλότοπο είναι ένα παραλληλόεδρο, που περιλαμβάνει 5 τύπους πολυέδρων.

Οι διαγώνιοι ενός n-παραλληλόγραμμου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό. Η αντιστροφή στο σημείο αυτό αφήνει το n-παράλληλο αμετάβλητο. Βλέπε επίσης σταθερά σημεία ισομετρικών ομάδων στον ευκλείδειο χώρο.

Οι ακμές που ακτινοβολούν από μία κορυφή ενός k-παραλληλότοπου σχηματίζουν ένα k-πλαίσιο ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} του διανυσματικού χώρου, και ο παραλληλότοπος μπορεί να ανακτηθεί από αυτά τα διανύσματα, λαμβάνοντας γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων, με βάρη μεταξύ 0 και 1.

Ο n-όγκος ενός n-παραλληλότοπου ενσωματωμένου στον R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} όπου m ≥ n {\displaystyle m\geq n} μπορεί να υπολογιστεί μέσω του προσδιοριστή Gram. Εναλλακτικά, ο όγκος είναι η νόρμα του εξωτερικού γινομένου των διανυσμάτων:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Εάν m = n, αυτό ισοδυναμεί με την απόλυτη τιμή του προσδιοριστή των n διανυσμάτων.

Ένας άλλος τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός n-παραλληλότοπου P στον R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , του οποίου οι n + 1 κορυφές είναι V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , είναι

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

όπου [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} είναι το διάνυσμα γραμμής που σχηματίζεται από τη συνένωση των V i {\displaystyle V_{i}} και 1. Πράγματι, ο προσδιοριστής παραμένει αμετάβλητος εάν [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} αφαιρεθεί από [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0), και η τοποθέτηση του [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} στην τελευταία θέση αλλάζει μόνο το πρόσημό του.

Ομοίως, ο όγκος κάθε n-συμπλέγματος που μοιράζεται n συγκλίνουσες ακμές ενός παραλληλότοπου έχει όγκο ίσο με το ένα 1/n! του όγκου αυτού του παραλληλότοπου.

Η λέξη εμφανίζεται ως parallelipipedon στη μετάφραση του Sir Henry Billingsley των Στοιχείων του Ευκλείδη, με ημερομηνία 1570. Στην έκδοση του Cursus mathematicus του 1644, ο Pierre Hérigone χρησιμοποίησε την ορθογραφία parallelepipedum. Το Oxford English Dictionary αναφέρει ότι το σημερινό παραλληλεπίπεδο εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο Chorea gigantum του Walter Charleton (1663).

Το λεξικό του Charles Hutton (1795) εμφανίζει το parallelopiped και το parallelopipedon, δείχνοντας την επιρροή του συνδυαστικού τύπου parallelo-, σαν το δεύτερο στοιχείο να ήταν pipedon και όχι epipedon. Ο Noah Webster (1806) περιλαμβάνει την ορθογραφία parallelopiped. Η έκδοση του Oxford English Dictionary του 1989 περιγράφει ρητά το parallelopiped (και το parallelipiped) ως λανθασμένους τύπους, αλλά αυτοί παρατίθενται χωρίς σχόλια στην έκδοση του 2004, και δίνονται μόνο προφορές με έμφαση στην πέμπτη συλλαβή pi (/paɪ/).

Η αλλαγή από την παραδοσιακή προφορά έχει κρύψει τη διαφορετική κατάτμηση που προτείνεται από τις ελληνικές ρίζες, με το έπι- ("πάνω") και το πέδον ("έδαφος") να συνδυάζονται για να δώσουν το έπιπεντ, ένα επίπεδο "επίπεδο". Έτσι, οι όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι επίπεδες, με τις απέναντι όψεις να είναι παράλληλες.