Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής

Απόδειξη

Ο πρώτος που απέδειξε το θεώρημα ήταν ο Ευκλείδης. Η πρώτη λεπτομερής και σωστή απόδειξη περιέχεται στο έργο Disquisitiones Arithmeticae του Carl Friedrich Gauß.

Ορισμένοι μπορεί να πιστεύουν ότι το θεώρημα ισχύει παντού. Ωστόσο, το θεώρημα δεν ισχύει σε πιο γενικά συστήματα αριθμών, όπως οι αλγεβρικοί ακέραιοι. Αυτό αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τον Ernst Kummer το 1843, στο έργο του για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό: διαβάστε αλγεβρική θεωρία αριθμών.

Η απόδειξη αποτελείται από δύο μέρη: πρώτον, δείχνουμε ότι κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών- δεύτερον, δείχνουμε ότι αν γράψουμε έναν αριθμό ως γινόμενο πρώτων αριθμών για δεύτερη φορά, τότε οι δύο λίστες πρώτων αριθμών πρέπει να είναι ίδιες.

Πρώτο μέρος της απόδειξης

Δείχνουμε ότι αν κάθε αριθμός μεγαλύτερος από το 1 δεν μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών, καταλήγουμε σε κάποιο είδος αδυναμίας. Έτσι, μετά από αυτό συμπεραίνουμε ότι πρέπει να ισχύει ότι κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Έτσι, δείτε τώρα τι συμβαίνει όταν κάποιος λέει ότι γνωρίζει έναν θετικό ακέραιο αριθμό, μεγαλύτερο του 1, ο οποίος δεν μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση του ζητάμε να αναφέρει όλους τους αριθμούς, μεγαλύτερους από το 1, που δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Ένας από αυτούς τους αριθμούς πρέπει να είναι ο μικρότερος: ας τον ονομάσουμε n. Φυσικά, αυτός ο αριθμός n δεν μπορεί να είναι το 1. Περαιτέρω, δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός, διότι ένας πρώτος αριθμός είναι "γινόμενο" ενός μόνο πρώτου: του εαυτού του. Άρα πρέπει να είναι ένα γινόμενο αριθμών. Επομένως -

n = ab

όπου τόσο το a όσο και το b είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί που είναι φυσικά μικρότεροι από το n. Αλλά: το n ήταν ο μικρότερος αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Άρα πρέπει να είναι δυνατόν να γραφούν τα a και b ως γινόμενα πρώτων αριθμών, επειδή είναι και τα δύο μικρότερα από το n. Αλλά τότε το γινόμενο

n = ab

μπορεί επίσης να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Αυτό είναι αδύνατο, επειδή είπαμε ότι το n δεν μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Έχουμε τώρα δείξει την αδυναμία που υπάρχει αν το πρώτο μέρος του θεωρήματος δεν είναι αληθές. Με αυτόν τον τρόπο έχουμε πλέον αποδείξει το πρώτο μέρος του θεωρήματος.

Δεύτερο μέρος της απόδειξης

Τώρα πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να γράψουμε έναν θετικό αριθμό μεγαλύτερο του 1 ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε το ακόλουθο λήμμα: αν ένας πρώτος αριθμός p διαιρεί ένα γινόμενο ab, τότε διαιρεί το a ή διαιρεί το b (λήμμα του Ευκλείδη). Πρώτα θα αποδείξουμε τώρα αυτό το λήμμα. Λοιπόν, ας υποθέσουμε τώρα ότι ο p δεν διαιρεί το a. Τότε ο p και το a είναι συνομήλικοι και έχουμε την ταυτότητα του Bezout που λέει ότι πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε

px + ay = 1.

Πολλαπλασιάζοντας τα πάντα με b προκύπτει

pbx + aby = b,

Θυμηθείτε ότι το ab θα μπορούσε να διαιρεθεί με το p. Έτσι τώρα, στην αριστερή πλευρά έχουμε δύο όρους που διαιρούνται με το p. Έτσι ο όρος στη δεξιά πλευρά είναι επίσης διαιρετός με το p. Έχουμε τώρα αποδείξει ότι αν το p δεν διαιρεί το a, πρέπει να διαιρεί το b. Αυτό αποδεικνύει το λήμμα.

Τώρα θα αποδείξουμε ότι μπορούμε να γράψουμε έναν ακέραιο αριθμό μεγαλύτερο του 1 με έναν μόνο τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Πάρτε δύο γινόμενα πρώτων αριθμών Α και Β που έχουν το ίδιο αποτέλεσμα. Άρα γνωρίζουμε για το αποτέλεσμα των προϊόντων ότι Α = Β. Πάρτε έναν οποιονδήποτε πρώτο αριθμό p από το πρώτο γινόμενο Α. Διαιρεί το Α, άρα διαιρεί και το Β. Χρησιμοποιώντας αρκετές φορές το λήμμα που μόλις αποδείξαμε, βλέπουμε ότι ο p πρέπει τότε να διαιρεί τουλάχιστον έναν παράγοντα b του Β. Αλλά οι παράγοντες είναι όλοι πρώτοι αριθμοί οι ίδιοι, άρα και το b είναι πρώτος. Ξέρουμε όμως ότι το p είναι επίσης πρώτος, άρα το p πρέπει να είναι ίσο με το b. Έτσι τώρα διαιρούμε το A με το p και επίσης διαιρούμε το B με το p. Και παίρνουμε ένα αποτέλεσμα όπως A* = B*. Και πάλι μπορούμε να πάρουμε έναν πρώτο αριθμό p από το πρώτο γινόμενο A* και να βρούμε ότι είναι ίσος με κάποιον αριθμό στο γινόμενο B*. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, στο τέλος βλέπουμε ότι οι πρώτοι παράγοντες των δύο προϊόντων πρέπει να είναι ακριβώς οι ίδιοι. Αυτό αποδεικνύει ότι μπορούμε να γράψουμε έναν θετικό ακέραιο ως γινόμενο πρώτων αριθμών με έναν μόνο μοναδικό τρόπο.