Μέθοδος του Νεύτωνα
Η μέθοδος του Νεύτωνα παρέχει έναν τρόπο εύρεσης των πραγματικών μηδενικών μιας συνάρτησης. Αυτός ο αλγόριθμος ονομάζεται μερικές φορές μέθοδος Newton-Raphson, από το όνομα του Sir Isaac Newton και του Joseph Raphson.
Η μέθοδος χρησιμοποιεί την παράγωγο της συνάρτησης για να βρει τις ρίζες της. Πρέπει να γίνει μια αρχική "μαντεψιά" για τη θέση του μηδενός. Από αυτή την τιμή, υπολογίζεται μια νέα εικασία με τον τύπο αυτό:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Εδώ xn είναι η αρχική εικασία και xn+1 είναι η επόμενη εικασία. Η συνάρτηση f (της οποίας το μηδέν επιλύεται) έχει την παράγωγο f'.
Εφαρμόζοντας επανειλημμένα αυτόν τον τύπο στις παραγόμενες εικασίες (δηλαδή θέτοντας την τιμή του xn στην έξοδο του τύπου και υπολογίζοντας εκ νέου), η τιμή των εικασιών θα προσεγγίσει το μηδέν της συνάρτησης.
Η μέθοδος του Νεύτωνα μπορεί να εξηγηθεί γραφικά εξετάζοντας τις τομές των εφαπτομένων με τον άξονα x. Αρχικά, υπολογίζεται μια γραμμή που εφάπτεται στην f στο σημείο xn. Στη συνέχεια, βρίσκεται η τομή μεταξύ αυτής της εφαπτόμενης γραμμής και του άξονα x. Τέλος, η θέση x αυτής της τομής καταγράφεται ως η επόμενη εικασία, xn+1.
Η συνάρτηση (μπλε) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της κλίσης μιας εφαπτόμενης ευθείας (κόκκινο) στο σημείο xn.
Προβλήματα με τη μέθοδο του Νεύτωνα
Η μέθοδος του Νεύτωνα μπορεί να βρει μια λύση γρήγορα, αν η τιμή μαντεψιάς αρχίζει αρκετά κοντά στην επιθυμητή ρίζα. Ωστόσο, όταν η αρχική τιμή μαντεψιάς δεν είναι κοντά, και ανάλογα με τη συνάρτηση, η μέθοδος του Νεύτωνα μπορεί να βρει την απάντηση αργά ή και καθόλου.
Περαιτέρω ανάγνωση
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Μέθοδος του Νεύτωνα: Μια επικαιροποιημένη προσέγγιση της θεωρίας του Kantorovich. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Δεύτερη έντυπη έκδοση. Σειρά Υπολογιστικών Μαθηματικών 35, Springer (2006).
- Yamamoto, T. (2001). "Ιστορικές εξελίξεις στην ανάλυση σύγκλισης για τις μεθόδους Newton και Newton-like". Στο Brezinski, C., Wuytack, L. (επιμ.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland, σσ. 241-263.
Δείτε επίσης
- Θεώρημα Καντόροβιτς (Δήλωση για τη σύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα, που βρέθηκε από τον Λεονίντ Καντόροβιτς)
| Έλεγχος της αρχής |
|
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι η μέθοδος του Νεύτωνα;
A: Η μέθοδος του Νεύτωνα είναι ένας αλγόριθμος για την εύρεση των πραγματικών μηδενικών μιας συνάρτησης. Χρησιμοποιεί την παράγωγο της συνάρτησης για τον υπολογισμό των ριζών της και απαιτεί μια αρχική τιμή εικασίας για τη θέση του μηδενός.
Ερ: Ποιος ανέπτυξε αυτή τη μέθοδο;
Α: Η μέθοδος αναπτύχθηκε από τον Sir Isaac Newton και τον Joseph Raphson, γι' αυτό και μερικές φορές αποκαλείται μέθοδος Newton-Raphson.
Ε: Πώς λειτουργεί αυτός ο αλγόριθμος;
Α: Ο αλγόριθμος αυτός λειτουργεί εφαρμόζοντας επανειλημμένα έναν τύπο που λαμβάνει μια αρχική τιμή μαντεψιάς (xn) και υπολογίζει μια νέα μαντεψιά (xn+1). Με την επανάληψη αυτής της διαδικασίας, οι εικασίες θα προσεγγίσουν το μηδέν της συνάρτησης.
Ερ: Τι απαιτείται για τη χρήση αυτού του αλγορίθμου;
Α: Για να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον αλγόριθμο, πρέπει να έχετε μια αρχική "τιμή εικασίας" για τη θέση του μηδενός καθώς και γνώση για την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης.
Ερ: Πώς μπορούμε να εξηγήσουμε γραφικά τη μέθοδο του Νεύτωνα;
Α: Μπορούμε να εξηγήσουμε τη μέθοδο του Νεύτωνα γραφικά εξετάζοντας τις τομές μεταξύ των εφαπτομένων με τον άξονα x. Αρχικά, υπολογίζεται μια ευθεία που εφάπτεται στην f στο σημείο xn. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την τομή μεταξύ αυτής της εφαπτόμενης ευθείας και του άξονα x και καταγράφουμε τη θέση x της ως την επόμενη εικασία μας - xn+1.
Ερ: Υπάρχει κάποιος περιορισμός κατά τη χρήση της μεθόδου του Νεύτωνα;
Α: Ναι, εάν η αρχική τιμή της εικασίας σας είναι πολύ μακριά από την πραγματική ρίζα, τότε μπορεί να χρειαστεί περισσότερος χρόνος ή ακόμη και να μην συγκλίνει προς τη ρίζα λόγω ταλαντώσεων γύρω από αυτήν ή απόκλισης μακριά από αυτήν.
