Πραγματικός αριθμός

Ένας πραγματικός αριθμός είναι ένας λογικός ή ανορθολογικός αριθμός. Συνήθως όταν οι άνθρωποι λένε "αριθμός" εννοούν συνήθως "πραγματικός αριθμός". Το επίσημο σύμβολο για τους πραγματικούς αριθμούς είναι ένα έντονο R ή ένα μαυροπίνακα έντονο R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Ορισμένοι πραγματικοί αριθμοί ονομάζονται θετικοί. Ένας θετικός αριθμός είναι "μεγαλύτερος από το μηδέν". Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν ως ένας απείρως μακρύς χάρακας. Υπάρχει ένα σημάδι για το μηδέν και για κάθε άλλο αριθμό, κατά σειρά μεγέθους. Σε αντίθεση με έναν χάρακα, υπάρχουν αριθμοί κάτω από το μηδέν. Αυτοί ονομάζονται αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Οι αρνητικοί αριθμοί είναι "μικρότεροι από το μηδέν". Είναι σαν καθρέφτης των θετικών αριθμών, με τη διαφορά ότι τους δίνονται σύμβολα μείον (-), ώστε να χαρακτηρίζονται διαφορετικά από τους θετικούς αριθμούς.

Υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί. Δεν υπάρχει μικρότερος ή μεγαλύτερος πραγματικός αριθμός. Ανεξάρτητα από το πόσοι πραγματικοί αριθμοί έχουν καταμετρηθεί, υπάρχουν πάντα περισσότεροι που πρέπει να καταμετρηθούν. Δεν υπάρχουν κενά διαστήματα μεταξύ των πραγματικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι αν ληφθούν δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, θα υπάρχει πάντα ένας τρίτος πραγματικός αριθμός ανάμεσά τους, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι οι δύο πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους.

Αν ένας θετικός αριθμός προστεθεί σε έναν άλλο θετικό αριθμό, ο αριθμός αυτός γίνεται μεγαλύτερος. Το μηδέν είναι επίσης πραγματικός αριθμός. Αν το μηδέν προστεθεί σε έναν αριθμό, ο αριθμός αυτός δεν αλλάζει. Αν ένας αρνητικός αριθμός προστεθεί σε έναν άλλο αριθμό, ο αριθμός αυτός μικραίνει.

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι αμέτρητοι. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρόπος να τοποθετηθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί σε μια ακολουθία. Σε οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών θα λείπει ένας πραγματικός αριθμός, ακόμη και αν η ακολουθία είναι άπειρη. Αυτό καθιστά τους πραγματικούς αριθμούς ιδιαίτερους. Παρόλο που υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί και άπειροι ακέραιοι αριθμοί, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν "περισσότεροι" πραγματικοί αριθμοί από τους ακέραιους αριθμούς, επειδή οι ακέραιοι αριθμοί είναι μετρήσιμοι και οι πραγματικοί αριθμοί είναι μη μετρήσιμοι.

Ορισμένα απλούστερα συστήματα αριθμών βρίσκονται μέσα στους πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, οι ορθολογικοί αριθμοί και οι ακέραιοι αριθμοί είναι όλοι μέσα στους πραγματικούς αριθμούς. Υπάρχουν επίσης πιο πολύπλοκα συστήματα αριθμών από τους πραγματικούς αριθμούς, όπως οι μιγαδικοί αριθμοί. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός αριθμός, αλλά όχι κάθε μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός.

Διαφορετικοί τύποι πραγματικών αριθμών

Υπάρχουν διάφοροι τύποι πραγματικών αριθμών. Μερικές φορές δεν γίνεται λόγος για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ταυτόχρονα. Μερικές φορές γίνεται λόγος μόνο για ειδικά, μικρότερα σύνολά τους. Αυτά τα σύνολα έχουν ειδικά ονόματα. Είναι τα εξής:

Φυσικοί αριθμοί: Είναι πραγματικοί αριθμοί που δεν έχουν δεκαδικό αριθμό και είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν.
Ακέραιοι αριθμοί: Είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που δεν έχουν δεκαδικά ψηφία, καθώς και μηδέν. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.
Ακέραιοι: Είναι πραγματικοί αριθμοί που δεν έχουν δεκαδικά ψηφία. Περιλαμβάνουν τόσο θετικούς όσο και αρνητικούς αριθμούς. Οι ακέραιοι αριθμοί είναι επίσης ακέραιοι.
Λογικοί αριθμοί: Είναι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων αριθμών. Οι ακέραιοι αριθμοί είναι επίσης ορθολογικοί αριθμοί.
Οι υπερβατικοί αριθμοί δεν μπορούν να προκύψουν από την επίλυση μιας εξίσωσης με ακέραιες συνιστώσες.
Αρνητικοί αριθμοί: Είναι πραγματικοί αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι επίσης ανορθολογικοί.

Ο αριθμός 0 (μηδέν) είναι ιδιαίτερος. Μερικές φορές θεωρείται μέρος του υποσυνόλου που πρέπει να εξεταστεί και άλλες φορές όχι. Είναι το στοιχείο ταυτότητας για την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός δεν αλλάζει τον αρχικό αριθμό. Για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, το στοιχείο ταυτότητας είναι το 1.

Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ορθολογικός είναι ο 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Αυτός ο αριθμός είναι ανορθολογικός. Αν σχεδιαστεί ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους μίας μονάδας, το μήκος της ευθείας μεταξύ των απέναντι γωνιών του θα είναι 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι ένας πραγματικός αριθμός;

A: Πραγματικός αριθμός είναι κάθε λογικός ή ανορθολογικός αριθμός που μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση δεκαδικού αναπτύγματος. Είναι ο πιο συνηθισμένος τύπος αριθμού που αναφέρεται όταν οι άνθρωποι λένε "αριθμός".

Ερ: Ποιο σύμβολο αντιπροσωπεύει τους πραγματικούς αριθμούς;

Α: Το επίσημο σύμβολο για τους πραγματικούς αριθμούς είναι ένα έντονο R, ή ένα έντονο R train {\displaystyle \mathbb {R} } .

Ερ: Σε τι διαφέρουν οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί;

Α: Οι θετικοί αριθμοί είναι "μεγαλύτεροι από το μηδέν", ενώ οι αρνητικοί αριθμοί είναι "μικρότεροι από το μηδέν" και έχουν σύμβολα μείον (-) προσαρτημένα σε αυτούς, ώστε να μπορούν να επισημανθούν διαφορετικά από τους θετικούς αριθμούς.

Ερ: Υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από τους ακέραιους;

Α: Ναι, υπάρχουν απείρως πολλοί πραγματικοί αριθμοί, ενώ οι ακέραιοι αριθμοί είναι μετρήσιμοι. Αυτό σημαίνει ότι, παρόλο που υπάρχουν άπειρα πολλά και από τα δύο είδη αριθμών, εξακολουθούν να υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από τους ακέραιους.

Ερ: Είναι όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί επίσης πραγματικοί αριθμοί;

Α: Όχι, κάθε πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός αριθμός, αλλά όχι κάθε μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός. Ομοίως, το 3/7 είναι λογικός αριθμός αλλά όχι ακέραιος.

Ερ: Είναι δυνατόν να βάλουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε σειρά;

Α: Όχι, διότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι μη μετρήσιμο, πράγμα που σημαίνει ότι όσο μεγάλη και αν είναι η ακολουθία, πάντα θα παραλείπει τουλάχιστον έναν από αυτούς.