Ένας σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός, αλλά διαφέρει από τους κοινούς αριθμούς με πολλούς τρόπους. Ένας σύνθετος αριθμός αποτελείται από δύο αριθμούς που συνδυάζονται μαζί. Το πρώτο μέρος είναι ένας πραγματικός αριθμός. Το δεύτερο μέρος ενός μιγαδικού αριθμού είναι ένας φανταστικός αριθμός. Ο πιο σημαντικός φανταστικός αριθμός ονομάζεται i {\displaystyle i}
, που ορίζεται ως ένας αριθμός που θα είναι -1 όταν τετραγωνίζεται ("τετραγωνίζεται" σημαίνει "πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Όλοι οι άλλοι φανταστικοί αριθμοί είναι i {\displaystyle i} πολλαπλασιασμένοι με έναν πραγματικό αριθμό, με τον ίδιο τρόπο που όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν ως 1 πολλαπλασιασμένο με έναν άλλο αριθμό. Οι αριθμητικές συναρτήσεις όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μπορούν να χρησιμοποιηθούν με μιγαδικούς αριθμούς. Ακολουθούν επίσης αντιμεταθετικές, συσχετιστικές και διανεμητικές ιδιότητες, όπως ακριβώς και οι πραγματικοί αριθμοί.
Οι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν κατά την προσπάθεια επίλυσης ειδικών εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες. Αυτοί άρχισαν να δημιουργούν πραγματικά προβλήματα για τους μαθηματικούς. Ως σύγκριση, χρησιμοποιώντας αρνητικούς αριθμούς, είναι δυνατόν να βρεθεί το x στην εξίσωση a + x = b {\displaystyle a+x=b}
για όλες τις πραγματικές τιμές των a και b, αλλά αν επιτρέπονται μόνο θετικοί αριθμοί για το x είναι μερικές φορές αδύνατο να βρεθεί ένα θετικό x, όπως στην εξίσωση 3 + x = 1.
Με τον πολλαπλασιασμό, υπάρχει μια δυσκολία που πρέπει να ξεπεραστεί. Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να δίνει -1 όταν τετραγωνίζεται. Με άλλα λόγια, το -1 (ή οποιοσδήποτε άλλος αρνητικός αριθμός) δεν έχει πραγματική τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x {\displaystyle x}
που να λύνει ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} 
πρόβλημα, οι μαθηματικοί εισήγαγαν ένα σύμβολο i και το ονόμασαν φανταστικό αριθμό. Αυτός είναι ο φανταστικός αριθμός που θα δώσει -1 όταν τετραγωνιστεί.
Οι πρώτοι μαθηματικοί που το σκέφτηκαν αυτό ήταν πιθανότατα οι Gerolamo Cardano και Raffaele Bombelli. Έζησαν τον 16ο αιώνα. Πιθανότατα ο Leonhard Euler εισήγαγε τη γραφή i {\displaystyle \mathrm {i} } 
για αυτόν τον αριθμό.
Όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να γραφούν ως a + b i {\displaystyle a+bi} 
(ή a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), όπου το a ονομάζεται πραγματικό μέρος του αριθμού και το b ονομάζεται φανταστικό μέρος. Γράφουμε ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
ή Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} 
για το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z {\displaystyle z}
. Έτσι, αν z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, γράφουμε a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. Ομοίως, γράφουμε ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
ή Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} 
για το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, για το ίδιο z. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι επίσης μιγαδικός αριθμός- είναι ένας μιγαδικός αριθμός z με ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} 
Ο μιγαδικός αριθμός μπορεί επίσης να γραφεί ως διατεταγμένο ζεύγος, (a, b). Τόσο το a όσο και το b είναι πραγματικοί αριθμοί. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί απλά να γραφτεί ως a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
ή ως το ζεύγος (a, 0).
Μερικές φορές, το j {\displaystyle j}
γράφεται αντί του i {\displaystyle i} . Στην ηλεκτρολογία, i {\displaystyle i} σημαίνει ηλεκτρικό ρεύμα. Η γραφή i {\displaystyle i} μπορεί να προκαλέσει πολλά προβλήματα επειδή ορισμένοι αριθμοί στην ηλεκτρολογία είναι σύνθετοι αριθμοί.
Το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών γράφεται συνήθως ως C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
