Μιγαδικός αριθμός

Ένας σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός, αλλά διαφέρει από τους κοινούς αριθμούς με πολλούς τρόπους. Ένας σύνθετος αριθμός αποτελείται από δύο αριθμούς που συνδυάζονται μαζί. Το πρώτο μέρος είναι ένας πραγματικός αριθμός. Το δεύτερο μέρος ενός μιγαδικού αριθμού είναι ένας φανταστικός αριθμός. Ο πιο σημαντικός φανταστικός αριθμός ονομάζεται i {\displaystyle i} $i$ , που ορίζεται ως ένας αριθμός που θα είναι -1 όταν τετραγωνίζεται ("τετραγωνίζεται" σημαίνει "πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Όλοι οι άλλοι φανταστικοί αριθμοί είναι i {\displaystyle i} $i$ πολλαπλασιασμένοι με έναν πραγματικό αριθμό, με τον ίδιο τρόπο που όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν ως 1 πολλαπλασιασμένο με έναν άλλο αριθμό. Οι αριθμητικές συναρτήσεις όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μπορούν να χρησιμοποιηθούν με μιγαδικούς αριθμούς. Ακολουθούν επίσης αντιμεταθετικές, συσχετιστικές και διανεμητικές ιδιότητες, όπως ακριβώς και οι πραγματικοί αριθμοί.

Οι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν κατά την προσπάθεια επίλυσης ειδικών εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες. Αυτοί άρχισαν να δημιουργούν πραγματικά προβλήματα για τους μαθηματικούς. Ως σύγκριση, χρησιμοποιώντας αρνητικούς αριθμούς, είναι δυνατόν να βρεθεί το x στην εξίσωση a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ για όλες τις πραγματικές τιμές των a και b, αλλά αν επιτρέπονται μόνο θετικοί αριθμοί για το x είναι μερικές φορές αδύνατο να βρεθεί ένα θετικό x, όπως στην εξίσωση $3 + x = 1$ .

Με τον πολλαπλασιασμό, υπάρχει μια δυσκολία που πρέπει να ξεπεραστεί. Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να δίνει -1 όταν τετραγωνίζεται. Με άλλα λόγια, το -1 (ή οποιοσδήποτε άλλος αρνητικός αριθμός) δεν έχει πραγματική τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x {\displaystyle x} που να λύνει ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ πρόβλημα, οι μαθηματικοί εισήγαγαν ένα σύμβολο i και το ονόμασαν φανταστικό αριθμό. Αυτός είναι ο φανταστικός αριθμός που θα δώσει -1 όταν τετραγωνιστεί.

Οι πρώτοι μαθηματικοί που το σκέφτηκαν αυτό ήταν πιθανότατα οι Gerolamo Cardano και Raffaele Bombelli. Έζησαν τον 16ο αιώνα. Πιθανότατα ο Leonhard Euler εισήγαγε τη γραφή i {\displaystyle \mathrm {i} } $\mathrm {i}$ για αυτόν τον αριθμό.

Όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να γραφούν ως a + b i {\displaystyle a+bi} $a+bi$ (ή a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i} $a+b\cdot i$ ), όπου το a ονομάζεται πραγματικό μέρος του αριθμού και το b ονομάζεται φανταστικό μέρος. Γράφουμε ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ ή Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ για το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z {\displaystyle z} $z$ . Έτσι, αν z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , γράφουμε a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Ομοίως, γράφουμε ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ ή Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ για το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z {\displaystyle z} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ , για το ίδιο $z$ . Κάθε πραγματικός αριθμός είναι επίσης μιγαδικός αριθμός- είναι ένας μιγαδικός αριθμός $z$ με ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} $\Im (z)=0$

Ο μιγαδικός αριθμός μπορεί επίσης να γραφεί ως διατεταγμένο ζεύγος, $(a, b)$ . Τόσο το a όσο και το b είναι πραγματικοί αριθμοί. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί απλά να γραφτεί ως a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ ή ως το ζεύγος $(a, 0)$ .

Μερικές φορές, το j {\displaystyle j} $j$ γράφεται αντί του i {\displaystyle i} $i$ . Στην ηλεκτρολογία, i {\displaystyle i} $i$ σημαίνει ηλεκτρικό ρεύμα. Η γραφή i {\displaystyle i} $i$ μπορεί να προκαλέσει πολλά προβλήματα επειδή ορισμένοι αριθμοί στην ηλεκτρολογία είναι σύνθετοι αριθμοί.

Το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών γράφεται συνήθως ως C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .

Πράξεις πάνω σε μιγαδικούς αριθμούς

Η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση, εφόσον ο διαιρέτης δεν είναι μηδέν, και ο εκθετικός πολλαπλασιασμός (αύξηση αριθμών σε εκθέτες) είναι όλα δυνατά με σύνθετους αριθμούς. Ορισμένοι άλλοι υπολογισμοί είναι επίσης δυνατοί με μιγαδικούς αριθμούς.

Ο κανόνας για την πρόσθεση και την αφαίρεση σύνθετων αριθμών είναι αρκετά απλός:

Έστω z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , τότε z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , και z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Ο πολλαπλασιασμός είναι λίγο διαφορετικός:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Μια άλλη αξιοσημείωτη πράξη για τους μιγαδικούς αριθμούς είναι η σύζευξη. Ένα μιγαδικό συζυγές z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ${\overline {z}}$ του z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ είναι a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . Είναι αρκετά απλό, αλλά είναι σημαντικό για τους υπολογισμούς, επειδή z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}} $z\times {\overline {z}}$ ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς για όλα τα μιγαδικά z {\displaystyle z}} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε διαίρεση:

1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Άλλες μορφές περιγραφής των μιγαδικών αριθμών

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να απεικονιστούν στο λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο. Αν έχετε έναν αριθμό z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , μπορείτε να πάτε σε ένα σημείο στον πραγματικό άξονα και στο b στον φανταστικό άξονα και να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα από το ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Το μήκος αυτού του διανύσματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τη γωνία μεταξύ του θετικού πραγματικού άξονα και αυτού του διανύσματος, πηγαίνοντας αριστερόστροφα. Το μήκος ενός διανύσματος για έναν αριθμό z {\displaystyle z} $z$ ονομάζεται συντελεστής του (γράφεται ως | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), και η γωνία ονομάζεται όρισμα του ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Αυτό οδηγεί στην τριγωνομετρική μορφή περιγραφής των μιγαδικών αριθμών: σύμφωνα με τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου, για όλα τα z {\displaystyle z} $z$ ισχύει ότι

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Αυτό συνδέεται στενά με τον τύπο του De Moivre.

Υπάρχει ακόμη και μια άλλη μορφή, που ονομάζεται εκθετικήμορφή.

Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρουσιαστεί οπτικά ως δύο αριθμοί που σχηματίζουν ένα διάνυσμα σε ένα διάγραμμα Argand, το οποίο αναπαριστά το μιγαδικό επίπεδο.

Συμπέρασμα

Με την προσθήκη των μιγαδικών αριθμών στα μαθηματικά, κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές έχει ρίζες που είναι μιγαδικοί αριθμοί. Η επιτυχής προσθήκη των μιγαδικών αριθμών στα μαθηματικά βοήθησε επίσης να ανοίξει ένας δρόμος για τη δημιουργία άλλων ειδών αριθμών που θα μπορούσαν να επιλύσουν και να βοηθήσουν στην εξήγηση πολλών διαφορετικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα οι: υπερσυμπλεγματικοί αριθμοί, το σεντένιο, οι υπερπραγματικοί αριθμοί, οι υπερρεαλιστικοί αριθμοί και πολλοί άλλοι. Βλέπε είδη αριθμών.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι ένας σύνθετος αριθμός;

A: Ένας σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από δύο μέρη, το πρώτο μέρος είναι ένας πραγματικός αριθμός και το δεύτερο μέρος είναι ένας φανταστικός αριθμός.

Ερ: Ποιος είναι ο πιο σημαντικός φανταστικός αριθμός;

Α: Ο πιο σημαντικός φανταστικός αριθμός ονομάζεται i, ο οποίος ορίζεται ως ένας αριθμός που θα είναι -1 όταν τετραγωνιστεί.

Ερ: Πώς χρησιμοποιούνται οι αριθμητικές συναρτήσεις με τους μιγαδικούς αριθμούς;

Α: Οι αριθμητικές συναρτήσεις όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μπορούν να χρησιμοποιηθούν με μιγαδικούς αριθμούς. Ακολουθούν επίσης αντιμεταθετικές, συσχετιστικές και διανεμητικές ιδιότητες όπως ακριβώς και οι πραγματικοί αριθμοί.

Ερ: Ποιο σύμβολο αντιπροσωπεύει το σύνολο των μιγαδικών αριθμών;

Α: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών αναπαρίσταται συχνά με το σύμβολο C.

Ερ: Γιατί ανακαλύφθηκαν οι μιγαδικοί αριθμοί;

Α: Οι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν κατά την προσπάθεια επίλυσης ειδικών εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες, επειδή δημιουργούσαν πραγματικά προβλήματα στους μαθηματικούς.

Ερ: Ποιος εισήγαγε τη γραφή i για αυτό το είδος αριθμού;

Α: Πιθανώς ο Leonhard Euler εισήγαγε τη γραφή i για αυτό το είδος αριθμού.

Ερ: Πώς μπορεί ένας μιγαδικός αριθμός να γραφτεί ως διατεταγμένο ζεύγος;

Α: Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως διατεταγμένο ζεύγος (a, b), όπου και τα δύο a και b είναι πραγματικοί αριθμοί.