Ακολουθία

Η ακολουθία είναι μια λέξη που σημαίνει "μετά ή μετά, μια σειρά".

Χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και σε άλλους κλάδους. Στη συνήθη χρήση σημαίνει μια σειρά γεγονότων, το ένα μετά το άλλο. Στα μαθηματικά, μια ακολουθία αποτελείται από διάφορα πράγματα που τοποθετούνται μαζί, το ένα μετά το άλλο. Η σειρά με την οποία βρίσκονται τα πράγματα έχει σημασία: Το (μπλε, κόκκινο, κίτρινο) είναι μια ακολουθία και το (κίτρινο, μπλε, κόκκινο) είναι μια ακολουθία, αλλά δεν είναι το ίδιο. Οι ακολουθίες που αποτελούνται από αριθμούς ονομάζονται επίσης πρόοδοι.

Υπάρχουν δύο είδη ακολουθιών. Το ένα είδος είναι οι πεπερασμένες ακολουθίες, οι οποίες έχουν ένα τέλος. Για παράδειγμα, η (1, 2, 3, 4, 5) είναι μια πεπερασμένη ακολουθία. Οι ακολουθίες μπορεί επίσης να είναι άπειρες, που σημαίνει ότι συνεχίζουν και δεν τελειώνουν ποτέ. Ένα παράδειγμα μιας ακολουθίας που είναι άπειρη είναι η ακολουθία όλων των ζυγών αριθμών, μεγαλύτερων από το 0. Αυτή η ακολουθία δεν τελειώνει ποτέ: ξεκινάει με το 2, το 4, το 6 κ.ο.κ. και μπορείτε πάντα να συνεχίσετε να ονομάζετε ζυγούς αριθμούς.

Αν μια ακολουθία είναι πεπερασμένη, είναι εύκολο να πούμε τι είναι: μπορείτε απλώς να γράψετε όλα τα πράγματα στην ακολουθία. Αυτό δεν λειτουργεί για μια άπειρη ακολουθία. Έτσι, ένας άλλος τρόπος για να καταγράψετε μια ακολουθία είναι να γράψετε έναν κανόνα για να βρείτε το πράγμα σε όποιο μέρος θέλετε. Ο κανόνας θα πρέπει να μας λέει πώς να βρούμε το πράγμα στη ν-οστή θέση, αν το ν μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Αν ξέρετε τι είναι μια συνάρτηση, αυτό σημαίνει ότι μια ακολουθία είναι ένα είδος συνάρτησης.

Για παράδειγμα, ο κανόνας θα μπορούσε να είναι ότι αυτό που βρίσκεται στη ν-οστή θέση είναι ο αριθμός 2×n (2 φορές το ν). Αυτό μας λέει ποια είναι ολόκληρη η ακολουθία, παρόλο που δεν τελειώνει ποτέ. Ο πρώτος αριθμός είναι 2×1, δηλαδή 2. Ο δεύτερος αριθμός είναι 2×2, δηλαδή 4. Αν θέλουμε να μάθουμε τον 100ο αριθμό, αυτός είναι 2×100, ή 200. Ανεξάρτητα από το ποιο πράγμα της ακολουθίας θέλουμε, ο κανόνας μπορεί να μας πει ποιο είναι.

Τύποι ακολουθιών

Αριθμητικές πρόοδοι (AP)

Η διαφορά μεταξύ ενός όρου και του προηγούμενου όρου είναι πάντα μια σταθερά.

Παράδειγμα: ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 κ.ο.κ.

έτσι αν πάρουμε τον πρώτο όρο ως A και τη σταθερή διαφορά ως D ο γενικός τύπος για την αριθμητική ακολουθία είναι T=a+(n-1)D όπου n είναι ο αριθμός των όρων

Γεωμετρικές πρόοδοι (GP)

Ο λόγος μεταξύ ενός όρου και του προηγούμενου όρου είναι πάντα σταθερός.

Παράδειγμα: {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6 : 3 = 2, 12 : 6 = 2, 24 : 12 = 2, 48 : 24 = 2 κ.ο.κ.

ο γενικός τύπος είναι T=ar^(n-1) όπου a είναι ο πρώτος όρος , r είναι ο λόγος και n είναι ο αριθμός των όρων.

Αρμονικές Προόδους (HP)

Η διαφορά μεταξύ του αντίστροφου ενός όρου και του αντίστροφου του προηγούμενου όρου είναι μια σταθερά.

Παράδειγμα: {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 : 1.5 ) - ( 1 : 3 ) = 1 3 , ( 1 : 1 ) - ( 1 : 1.5 ) = 1 3 , ( 1 : 3 4 ) - ( 1 : 1 ) = 1 3 , {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},} {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},}κ.ο.κ.

Σειρά

Μια σειρά είναι το άθροισμα όλων των όρων μιας ακολουθίας.

ο γενικός τύπος για τον υπολογισμό του αθροίσματος της αριθμητικής ακολουθίας είναι

S=n/2 [2a=(n-1)d]

αυτή της γεωμετρικής ακολουθίας είναι

S= a/(1-r) αν η ακολουθία είναι άπειρη και S= [a(1-r^n)]/(1-r) αν είναι πεπερασμένη

εδώ a είναι ο πρώτος όρος , d είναι η κοινή διαφορά στην αριθμητική ακολουθία , r είναι ο λόγος n γεωμετρική ακολουθία και n είναι ο αριθμός των όρων.

 

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ε: Τι είναι η ακολουθία;


A: Μια ακολουθία είναι ένα σύνολο συναφών γεγονότων, κινήσεων ή αντικειμένων που ακολουθούν το ένα το άλλο με μια συγκεκριμένη σειρά.

Ε: Πώς χρησιμοποιείται;


A: Χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και σε άλλους κλάδους. Στη συνηθισμένη χρήση, σημαίνει μια σειρά γεγονότων, το ένα μετά το άλλο.

Ερ: Ποια είναι τα δύο είδη ακολουθιών;


Α: Τα δύο είδη ακολουθιών είναι οι πεπερασμένες ακολουθίες, οι οποίες έχουν ένα τέλος, και οι άπειρες ακολουθίες, οι οποίες δεν τελειώνουν ποτέ.

Ερ: Μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα μιας άπειρης ακολουθίας;


Α: Ένα παράδειγμα άπειρης ακολουθίας είναι η ακολουθία όλων των ζυγών αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από το 0. Αυτή η ακολουθία δεν τελειώνει ποτέ- αρχίζει με 2, 4, 6 κ.ο.κ.

Ερ: Πώς μπορούμε να γράψουμε μια άπειρη ακολουθία;


Α: Μπορούμε να καταγράψουμε μια άπειρη ακολουθία γράφοντας έναν κανόνα για την εύρεση του πράγματος σε όποιο μέρος θέλουμε. Ο κανόνας θα πρέπει να μας λέει πώς να βρούμε το πράγμα στο ν-οστό μέρος, όπου το ν μπορεί να είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Ερ: Τι σημαίνει το (a_n) όταν γράφουμε μια ακολουθία;


Α: Το (a_n) συμβολίζει τον n-οστό όρο της ακολουθίας.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3