Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι μια πολύ διάσημη ιδέα στα μαθηματικά. Λέει ότι:
Αν το n είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 (όπως 3, 4, 5, 6.....), τότε ηεξίσωση
x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}
δεν έχειλύσειςόταν τα x, y και z είναιφυσικοί αριθμοί(θετικοί ακέραιοι αριθμοί) εκτός από το 0 ή "αριθμούς μέτρησης" όπως 1, 2, 3....). Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί x, y και z για τους οποίους να ισχύει αυτή η εξίσωση (δηλαδή, οι τιμές και στις δύο πλευρές δεν μπορούν ποτέ να είναι ίδιες αν οι x, y, z είναι φυσικοί αριθμοί και το n είναι ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2).
Ο Pierre de Fermat έγραψε σχετικά το 1637 μέσα στο αντίγραφο ενός βιβλίου που ονομαζόταν Arithmetica. Είπε: "Έχω μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετός χώρος σε αυτό το περιθώριο". Ωστόσο, δεν βρέθηκε καμία σωστή απόδειξη για 357 χρόνια. Τελικά αποδείχθηκε το 1995. Οι απανταχού μαθηματικοί πιστεύουν ότι ο Φερμά, στην πραγματικότητα, δεν είχε μια καλή απόδειξη αυτού του θεωρήματος.
Pierre de Fermat
Σχέσεις με άλλα μαθηματικά
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι μια πιο γενική μορφή της εξίσωσης: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}. (Αυτό προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Μια ειδική περίπτωση είναι όταν τα a, b και c είναι ακέραιοι αριθμοί. Τότε ονομάζονται "πυθαγόρειο τρίδυμο". Για παράδειγμα: 3, 4 και 5 δίνουν 3^2 + 4^2 = 5^2 όπως 9+16=25, ή 5, 12 και 13 δίνουν 25+144=169. Υπάρχουν άπειρα από αυτά (συνεχίζονται για πάντα). Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μιλάει για το τι συμβαίνει όταν το 2 αλλάζει σε μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό. Λέει ότι τότε δεν υπάρχουν τριπλέτες όταν τα a, b και c είναι ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι με το ένα (δηλαδή αν το n είναι μεγαλύτερο από δύο, τα a, b και c δεν μπορούν να είναι φυσικοί αριθμοί).
Απόδειξη
Η απόδειξη έγινε για ορισμένες τιμές του n (όπως n=3, n=4, n=5 και n=7). Αυτό το έκαναν ο Φερμά, ο Όιλερ, η Σοφί Ζερμέν και άλλοι.
Ωστόσο, η πλήρης απόδειξη πρέπει να δείξει ότι η εξίσωση δεν έχει λύση για όλες τις τιμές του n (όταν το n είναι ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2). Η απόδειξη ήταν πολύ δύσκολο να βρεθεί, και το τελευταίο θεώρημα του Φερμά χρειάστηκε πολύ χρόνο για να λυθεί.
Ένας Άγγλος μαθηματικός ονόματι Andrew Wiles βρήκε τη λύση το 1995, 358 χρόνια μετά την αναφορά του Φερμά. Ο Richard Taylor τον βοήθησε να βρει τη λύση[]. Η απόδειξη χρειάστηκε οκτώ χρόνια έρευνας. Απέδειξε το θεώρημα αποδεικνύοντας πρώτα το θεώρημα της αρθρωτότητας, το οποίο τότε ονομαζόταν εικασία Taniyama-Shimura. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ribet, μπόρεσε να δώσει μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Τον Ιούνιο του 1997 έλαβε το βραβείο Wolfskehl από την Ακαδημία του Γκέτινγκεν: το ποσό ανήλθε σε περίπου 50.000 δολάρια ΗΠΑ.
Μετά από μερικά χρόνια συζητήσεων, ο κόσμος συμφώνησε ότι ο Andrew Wiles είχε λύσει το πρόβλημα. Ο Andrew Wiles χρησιμοποίησε πολλά σύγχρονα μαθηματικά και δημιούργησε ακόμη και νέα μαθηματικά όταν έδωσε τη λύση του. Αυτά τα μαθηματικά ήταν άγνωστα όταν ο Φερμά έγραψε το διάσημο σημείωμά του, οπότε ο Φερμά δεν θα μπορούσε να τα χρησιμοποιήσει. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο Φερμά δεν είχε στην πραγματικότητα μια πλήρη λύση του προβλήματος.
Βρετανός μαθηματικός Andrew Wiles
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι το τελευταίο θεώρημα του Φερμά;
A: Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (FLT) δηλώνει ότι αν το n είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση x^n + y^n = z^n δεν έχει λύσεις όταν τα x, y και z είναι φυσικοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να εκφράσουμε σε ακέραιους αριθμούς δύο κύβους οι οποίοι προστιθέμενοι ισούνται με έναν τρίτο κύβο ή οτιδήποτε μεγαλύτερο από τα τετράγωνα.
Ερ: Πότε γράφτηκε η FLT;
Α: Ο Πιερ ντε Φερμά έγραψε για την FLT το 1637 μέσα στο αντίγραφο ενός βιβλίου που ονομαζόταν Arithmetica.
Ερ: Τι είπε ο Φερμά για το θεώρημα;
Α: Είπε: "Έχω μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετός χώρος σε αυτό το περιθώριο".
Ερ: Πόσο καιρό χρειάστηκε για να αποδειχθεί η FLT;
Α: Χρειάστηκαν 357 χρόνια για να αποδειχθεί σωστά η FLT- τελικά έγινε το 1995.
Ερ: Πιστεύουν οι μαθηματικοί ότι ο Φερμά είχε μια πραγματική απόδειξη του θεωρήματος;
Α: Οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν πιστεύουν ότι ο Φερμά είχε πραγματικά μια οριακή απόδειξη αυτού του θεωρήματος.
Ερ: Τι αναφέρει το αρχικό πρόβλημα;
Α: Το αρχικό πρόβλημα δηλώνει ότι είναι αδύνατο να διαιρεθεί το cubum autem (ένας κύβος) σε δύο κύβους ή το quadratoquadratum (ένα τετράγωνο-τετράγωνο) σε δύο τετράγωνα-τετράγωνα και γενικά τίποτα πέρα από τα τετράγωνα δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο του ίδιου ονόματος, με την επίδειξη να είναι αξιοσημείωτη αλλά πολύ μεγάλη για το μέγεθος του περιθωρίου.
