Χώρος Χίλμπερτ
Ο χώρος Χίλμπερτ είναι μια μαθηματική έννοια που καλύπτει την εξωδιαστατική χρήση του ευκλείδειου χώρου, δηλαδή ενός χώρου με περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Ένας χώρος Χίλμπερτ χρησιμοποιεί τα μαθηματικά των δύο και τριών διαστάσεων για να προσπαθήσει να περιγράψει αυτό που συμβαίνει σε περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Πήρε το όνομά του από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ.
Η διανυσματική άλγεβρα και ο λογισμός είναι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται συνήθως στο δισδιάστατο ευκλείδειο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Στους χώρους Hilbert, οι μέθοδοι αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν με οποιονδήποτε πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαστάσεων. Ένας χώρος Hilbert είναι ένας διανυσματικός χώρος που έχει τη δομή ενός εσωτερικού γινομένου που επιτρέπει τη μέτρηση του μήκους και της γωνίας. Οι χώροι Hilbert πρέπει επίσης να είναι πλήρεις, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχουν αρκετά όρια για να λειτουργεί ο λογισμός.
Οι πρώτοι χώροι Χίλμπερτ μελετήθηκαν την πρώτη δεκαετία του 20ού αιώνα από τους David Hilbert, Erhard Schmidt και Frigyes Riesz. Ο Τζον φον Νόιμαν σκέφτηκε πρώτος το όνομα "χώρος Χίλμπερτ". Οι μέθοδοι του χώρου Hilbert έκαναν μεγάλη διαφορά στη συναρτησιακή ανάλυση.
Οι χώροι Χίλμπερτ εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική, συχνά ως άπειρης διάστασης χώροι συναρτήσεων. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι για τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων, της κβαντομηχανικής, της ανάλυσης Fourier (η οποία περιλαμβάνει την επεξεργασίασήματος και τη μεταφορά θερμότητας). Οι χώροι Hilbert χρησιμοποιούνται στην εργοδική θεωρία, η οποία αποτελεί τη μαθηματική βάση της θερμοδυναμικής. Όλοι οι κανονικοί ευκλείδειοι χώροι είναι επίσης χώροι Hilbert. Άλλα παραδείγματα χώρων Χίλμπερτ είναι οι χώροι των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, οι χώροι των ακολουθιών, οι χώροι Sobolev που αποτελούνται από γενικευμένες συναρτήσεις και οι χώροι Hardy των ολομορφικών συναρτήσεων.
Οι χώροι Hilbert μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη των αρμονικών των δονούμενων χορδών.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι ο χώρος Χίλμπερτ;
A: Ο χώρος Χίλμπερτ είναι μια μαθηματική έννοια που χρησιμοποιεί τα μαθηματικά των δύο και τριών διαστάσεων για να προσπαθήσει να περιγράψει τι συμβαίνει σε περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Είναι ένας διανυσματικός χώρος με δομή εσωτερικού γινομένου που επιτρέπει τη μέτρηση του μήκους και της γωνίας και πρέπει επίσης να είναι πλήρης για να λειτουργήσει ο λογισμός.
Ερ: Ποιος έδωσε το όνομά του στην έννοια των χώρων Χίλμπερτ;
Α: Η έννοια των χώρων Hilbert μελετήθηκε για πρώτη φορά στις αρχές του 20ού αιώνα από τους David Hilbert, Erhard Schmidt και Frigyes Riesz. Ο John von Neumann ήταν αυτός που επινόησε το όνομα "χώρος Hilbert".
Ερ: Ποιες είναι ορισμένες εφαρμογές των χώρων Χίλμπερτ;
A: Οι χώροι Hilbert χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς όπως τα μαθηματικά, η φυσική, η μηχανική, η συναρτησιακή ανάλυση, οι μερικές διαφορικές εξισώσεις, η κβαντομηχανική, η ανάλυση Fourier (που περιλαμβάνει την επεξεργασία σήματος και τη μεταφορά θερμότητας), η εργοδική θεωρία (η μαθηματική βάση της θερμοδυναμικής), οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, οι ακολουθίες, οι χώροι Sobolev που αποτελούνται από γενικευμένες συναρτήσεις, οι χώροι Hardy των ολομορφικών συναρτήσεων.
Ερώτηση: Όλοι οι κανονικοί ευκλείδειοι χώροι θεωρούνται επίσης χώροι Χίλμπερτ;
Α: Ναι - όλοι οι κανονικοί Ευκλείδειοι χώροι θεωρούνται επίσης χώροι Hilbert.
Ερ: Πώς οι χώροι Hilbert έκαναν τη διαφορά στη συναρτησιακή ανάλυση;
Α: Η χρήση των χώρων Hilbert έκανε μεγάλη διαφορά στη συναρτησιακή ανάλυση παρέχοντας νέες μεθόδους για τη μελέτη προβλημάτων που σχετίζονται με αυτό το πεδίο.
Ερ: Τι είδους μαθηματικά χρειάζεται να γνωρίζει κανείς όταν εργάζεται με έναν Χώρο Hilbert;
Α: Η διανυσματική άλγεβρα και ο λογισμός χρησιμοποιούνται συνήθως όταν εργάζονται με ένα δισδιάστατο ευκλείδειο επίπεδο ή έναν τρισδιάστατο χώρο- ωστόσο οι μέθοδοι αυτές μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν με οποιονδήποτε πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαστάσεων όταν πρόκειται για έναν Χώρο Χίλμπερτ.
