Υπόθεση του συνεχούς
Η υπόθεση της συνέχειας είναι η υπόθεση ότι δεν υπάρχει σύνολο που να είναι μεγαλύτερο από τους φυσικούς αριθμούς και μικρότερο από τους πραγματικούς αριθμούς. Ο Georg Cantor διατύπωσε αυτή την υπόθεση το 1877.
Υπάρχουν απείρως πολλοί φυσικοί αριθμοί, η καρδινικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι άπειρη. Αυτό ισχύει και για το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά οι πραγματικοί αριθμοί είναι περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς. Λέμε ότι οι φυσικοί αριθμοί έχουν άπειρη καρτελικότητα και οι πραγματικοί αριθμοί έχουν άπειρη καρτελικότητα, αλλά η καρτελικότητα των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από την καρτελικότητα των φυσικών αριθμών.
Αυτή η υπόθεση είναι το πρώτο πρόβλημα στον κατάλογο των 23 προβλημάτων που δημοσίευσε ο David Hilbert το 1900. Ο Kurt Gödel έδειξε το 1939, ότι η υπόθεση δεν μπορεί να διαψευστεί χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλωνZermelo-Fraenkel. Η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel είναι η θεωρία συνόλων που χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά. Ο Paul Cohen έδειξε στη δεκαετία του 1960 ότι ούτε η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς. Για το γεγονός αυτό, ο Cohen τιμήθηκε με το μετάλλιο Fields.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η υπόθεση του συνεχούς;
A: Η υπόθεση του συνεχούς είναι η υπόθεση ότι δεν υπάρχει σύνολο που να είναι τόσο μεγαλύτερο από αυτό των φυσικών αριθμών όσο και μικρότερο από αυτό των πραγματικών αριθμών.
Ερ: Ποιος διατύπωσε την υπόθεση του συνεχούς και πότε;
Α: Ο Georg Cantor διατύπωσε την υπόθεση του συνεχούς το 1877.
Ερ: Υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί;
Α: Ναι, υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί.
Ερ: Ποια είναι η καρδινικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών;
Α: Η καρτελικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι άπειρη.
Ερ: Υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από τους φυσικούς αριθμούς;
Α: Ναι, υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από τους φυσικούς αριθμούς.
Ερ: Μπορεί η υπόθεση του συνεχούς να διαψευστεί χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel;
Α: Ο Kurt Gödel έδειξε το 1939 ότι η υπόθεση δεν μπορεί να διαψευστεί χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel.
Ερ: Ποιος έδειξε ότι η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς;
Α: Ο Paul Cohen έδειξε στη δεκαετία του 1960 ότι η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς.
