Κύλινδρος (γεωμετρία)

Στην κοινή χρήση ως κύλινδρος νοείται η πεπερασμένη τομή ενός ορθού κυκλικού κυλίνδρου, δηλαδή του κυλίνδρου με τις γενέτειρες κάθετες στις βάσεις, με τα άκρα του κλειστά ώστε να σχηματίζουν δύο κυκλικές επιφάνειες, όπως στο σχήμα (δεξιά). Αν ο κύλινδρος έχει ακτίνα r και μήκος (ύψος) h, τότε ο όγκος του δίνεται από:

V = πrh²

και η επιφάνειά του είναι:

• το εμβαδόν της κορυφής (πr²) +
• το εμβαδόν του πυθμένα (πr²) +
• το εμβαδόν της πλευράς (2πrh).

Επομένως, χωρίς το πάνω ή το κάτω μέρος (πλευρική επιφάνεια), η επιφάνεια είναι:

A = 2πrh.

Με το πάνω και το κάτω μέρος, η επιφάνεια είναι:

A = 2πr ²+ 2πrh = 2πr(r + h).

Για δεδομένο όγκο, ο κύλινδρος με τη μικρότερη επιφάνεια έχει h = 2r. Για δεδομένη επιφάνεια, ο κύλινδρος με τον μεγαλύτερο όγκο έχει h = 2r, δηλαδή ο κύλινδρος χωράει σε κύβο (ύψος = διάμετρος).

Έχοντας έναν ορθογώνιο κυκλικό κύλινδρο με ύψος h μονάδες και μια βάση ακτίνας r μονάδες με τους άξονες συντεταγμένων να επιλέγονται έτσι ώστε η αρχή να βρίσκεται στο κέντρο της μιας βάσης και το ύψος να μετράται κατά μήκος του θετικού άξονα x. Μια επίπεδη τομή σε απόσταση x μονάδων από την αρχή έχει εμβαδόν A(x) τετραγωνικών μονάδων όπου

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

ή

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Ένα στοιχείο όγκου, είναι ένας ορθός κύλινδρος με εμβαδόν βάσης Aw_i τετραγωνικές μονάδες και πάχος Δx_i μονάδες. Έτσι, αν V κυβικές μονάδες είναι ο όγκος του ορθού κυκλικού κυλίνδρου, από τα αθροίσματα Riemann,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ h0 A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ h0 π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες, ο όγκος μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση επί

= ∫ h0 ∫ π02 ∫ r0 s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Οι κυλινδρικές τομές είναι οι τομές των κυλίνδρων με τα επίπεδα. Για έναν ορθό κυκλικό κύλινδρο, υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες. Ένα επίπεδο εφαπτόμενο στον κύλινδρο, συναντά τον κύλινδρο σε μια απλή ευθεία γραμμή. Κινούμενο ενώ είναι παράλληλο με τον εαυτό του, το επίπεδο είτε δεν τέμνει τον κύλινδρο είτε τον τέμνει σε δύο παράλληλες ευθείες. Όλα τα άλλα επίπεδα τέμνουν τον κύλινδρο σε έλλειψη ή, όταν είναι κάθετα στον άξονα του κυλίνδρου, σε κύκλο.

Ένας ελλειπτικός κύλινδρος, ή κυλινδροειδές, είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, με την ακόλουθη εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

( x a ) +2 ( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Αυτή η εξίσωση αφορά έναν ελλειπτικό κύλινδρο, μια γενίκευση του συνηθισμένου, κυκλικού κυλίνδρου (a = b). Ακόμη πιο γενικευμένος είναι ο γενικευμένος κύλινδρος: η διατομή μπορεί να είναι οποιαδήποτε καμπύλη.

Ο κύλινδρος είναι ένα εκφυλισμένο τετράγωνο επειδή τουλάχιστον μία από τις συντεταγμένες (στην περίπτωση αυτή η z) δεν εμφανίζεται στην εξίσωση.

Σε έναν λοξό κύλινδρο η άνω και η κάτω επιφάνεια είναι μετατοπισμένες η μία από την άλλη.

Υπάρχουν και άλλοι πιο ασυνήθιστοι τύποι κυλίνδρων. Αυτοί είναι οι φανταστικοί ελλειπτικοί κύλινδροι:

( x a ) +2 ( y b ) = 2- 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=-1}

ο υπερβολικός κύλινδρος:

( x a ) 2- ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1}

και τον παραβολικό κύλινδρο:

x +2 a2 y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Στην προβολική γεωμετρία, ένας κύλινδρος είναι απλώς ένας κώνος του οποίου η κορυφή βρίσκεται στο άπειρο.

Αυτό είναι χρήσιμο στον ορισμό των εκφυλισμένων κωνικών, που απαιτούν την εξέταση των κυλινδρικών κωνικών.