Έλλειψη (γεωμετρία)
Η έλλειψη είναι ένα σχήμα που μοιάζει με οβάλ ή πεπλατυσμένο κύκλο.
Στη γεωμετρία, η έλλειψη είναι μια επίπεδη καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο κατά τρόπο που να παράγει μια κλειστή καμπύλη.
Οι κύκλοι είναι ειδικές περιπτώσεις των ελλειψοειδών, που προκύπτουν όταν το επίπεδο κοπής είναι κάθετο στον άξονα του κώνου. Μια έλλειψη είναι επίσης ο τόπος όλων των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία προσθέτουν την ίδια σταθερά.
Ο κύκλος έχει ένα κέντρο, που ονομάζεται εστία, αλλά η έλλειψη έχει δύο εστίες.
Η έλλειψη είναι απλά όλα τα σημεία σε ένα γράφημα που το άθροισμα των αποστάσεων από 2 σημεία είναι το ίδιο. Για παράδειγμα, μια έλλειψη μπορεί να κατασκευαστεί βάζοντας δύο καρφίτσες σε χαρτόνι και έναν κύκλο από σπάγκο γύρω από αυτές τις δύο, στη συνέχεια βάζοντας ένα μολύβι στο βρόχο και τραβώντας όσο το δυνατόν περισσότερο χωρίς να σπάσει ο σπάγκος προς όλες τις κατευθύνσεις. Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις, με τον ήλιο στη μία εστία και τίποτα στην άλλη.
Η εξίσωση μιας έλλειψης είναι : ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}}{b^{2}}}=1}
όπου το κέντρο της έλλειψης είναι (h,k). 2Α είναι το μήκος από κάθε άκρο της μακρύτερης λεπτότερης πλευράς. 2b είναι το μήκος από τα 2 άκρα της κοντύτερης πλευράς. A²-B²=C² για c είναι το μήκος μεταξύ των εστιών και του κέντρου.
Οι εστίες (μοβ σταυροί) βρίσκονται στις τομές του μεγάλου άξονα (κόκκινο) και ενός κύκλου (κυανό) ακτίνας ίσης με τον ημιάξονα (μπλε), με κέντρο ένα άκρο του δευτερεύοντος άξονα (γκρι).
Μια έλλειψη που προκύπτει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο.
Μια έλλειψη και οι ιδιότητές της.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι η έλλειψη;
A: Η έλλειψη είναι ένα σχήμα που μοιάζει με οβάλ ή πεπλατυσμένο κύκλο. Στη γεωμετρία, είναι μια επίπεδη καμπύλη η οποία προκύπτει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο με τρόπο που παράγει μια κλειστή καμπύλη.
Ερ: Πώς δημιουργείται μια έλλειψη;
Α: Μια έλλειψη μπορεί να δημιουργηθεί βάζοντας δύο καρφίτσες σε χαρτόνι και στη συνέχεια βάζοντας θηλιά γύρω από αυτές τις δύο καρφίτσες και βάζοντας ένα μολύβι στη θηλιά και τραβώντας όσο το δυνατόν περισσότερο χωρίς να σπάσει η θηλιά προς όλες τις κατευθύνσεις.
Ερ: Τι είναι οι κύκλοι ως ειδικές περιπτώσεις;
Α: Οι κύκλοι είναι ειδικές περιπτώσεις των ελλειψοειδών, που δημιουργούνται όταν το επίπεδο κοπής είναι κάθετο στον άξονα του κώνου.
Ερ: Πόσες εστίες έχει μια έλλειψη;
Α: Μια έλλειψη έχει δύο εστίες.
Ερ: Ποια εξίσωση περιγράφει μια έλλειψη;
A: Η εξίσωση για μια έλλειψη είναι (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 όπου τα h και k αντιπροσωπεύουν το κέντρο της έλλειψης και το 2a αντιπροσωπεύει το μήκος από κάθε άκρο της μακρύτερης λεπτότερης πλευράς, ενώ το 2b αντιπροσωπεύει το μήκος μεταξύ κάθε άκρου της μικρότερης πλευράς της. Το C αντιπροσωπεύει το μήκος μεταξύ των εστιών και του κέντρου της, έτσι ώστε A²-B²=C².
Ερ: Πού βλέπουμε παραδείγματα ελλειπτικών τροχιών;
Α: Ελλειπτικές τροχιές μπορούμε να δούμε σε πλανήτες, με τον ήλιο τους σε ένα σημείο εστίασης.
