Υπερβολή (γεωμετρία)
Η υπερβολή είναι ένας τύπος κωνικής τομής. Όπως και οι άλλοι τρεις τύποι κωνικών τομών - οι παραβολές, οι ελλείψεις και οι κύκλοι - είναι μια καμπύλη που σχηματίζεται από την τομή ενός κώνου και ενός επιπέδου. Μια υπερβολή δημιουργείται όταν το επίπεδο τέμνει και τα δύο μισά ενός διπλού κώνου, δημιουργώντας δύο καμπύλες που μοιάζουν ακριβώς η μία με την άλλη, αλλά ανοίγονται προς αντίθετες κατευθύνσεις. Αυτό συμβαίνει όταν η γωνία μεταξύ του άξονα του κώνου και του επιπέδου είναι μικρότερη από τη γωνία μεταξύ μιας γραμμής στην πλευρά του κώνου και του επιπέδου.
Οι υπερβολές μπορούν να βρεθούν σε πολλά μέρη στη φύση. Για παράδειγμα, ένα αντικείμενο σε ανοικτή τροχιά γύρω από ένα άλλο αντικείμενο - όπου δεν επιστρέφει ποτέ - μπορεί να κινείται σε σχήμα υπερβολής. Σε ένα ηλιακό ρολόι, η διαδρομή που ακολουθεί η κορυφή της σκιάς με την πάροδο του χρόνου είναι μια υπερβολή.
Μια από τις πιο γνωστές υπερβολές είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} 
.
Η υπερβολή είναι η τομή μεταξύ των δύο ημίσεων ενός διπλού κώνου και ενός επιπέδου.
Ορισμοί και εξισώσεις
Οι δύο ασύνδετες καμπύλες που αποτελούν μια υπερβολή ονομάζονται βραχίονες ή κλάδοι.
Τα δύο σημεία στα οποία οι κλάδοι βρίσκονται πλησιέστερα μεταξύ τους ονομάζονται κορυφές. Η γραμμή μεταξύ αυτών των δύο σημείων ονομάζεται εγκάρσιος άξονας ή μεγάλος άξονας. Το μέσο του εγκάρσιου άξονα είναι το κέντρο της υπερβολής.
Σε μεγάλες αποστάσεις από το κέντρο, οι κλάδοι της υπερβολής προσεγγίζουν δύο ευθείες. Οι δύο αυτές ευθείες ονομάζονται ασύμπτωτες. Καθώς η απόσταση από το κέντρο αυξάνεται, η υπερβολή πλησιάζει όλο και περισσότερο στις ασύμπτωτες, αλλά ποτέ δεν τις τέμνει.
Ο συζυγής άξονας ή δευτερεύων άξονας είναι κάθετος ή σε ορθή γωνία προς τον εγκάρσιο άξονα. Τα τελικά σημεία του συζυγούς άξονα βρίσκονται στο ύψος όπου ένα τμήμα που τέμνει την κορυφή και είναι κάθετο στον εγκάρσιο άξονα τέμνει τις ασύμπτωτες.
Μια υπερβολή που έχει κέντρο την αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, που είναι το σημείο (0,0), και έχει εγκάρσιο άξονα στον άξονα x μπορεί να γραφεί ως η εξίσωση
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 
α είναι η απόσταση μεταξύ του κέντρου και μιας κορυφής. Το μήκος του εγκάρσιου άξονα είναι ίσο με 2a. b είναι το μήκος ενός κάθετου ευθύγραμμου τμήματος από μια κορυφή σε μια ασύμπτωτη. Το μήκος του συζυγούς άξονα είναι ίσο με 2b.
Οι δύο κλάδοι του παραπάνω τύπου υπερβολής ανοίγουν προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Αν οι κλάδοι ανοίγουν προς τα πάνω και προς τα κάτω και ο εγκάρσιος άξονας βρίσκεται στον άξονα y, τότε η υπερβολή μπορεί να γραφεί ως η εξίσωση
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.} 
Γραφική παράσταση μιας υπερβολής (κόκκινες καμπύλες). Οι ασυμπτωτικές γραμμές απεικονίζονται ως μπλε διακεκομμένες γραμμές. Το κέντρο σημειώνεται με C και οι δύο κορυφές βρίσκονται στα -a και a. Οι εστίες σημειώνονται με F1 και F2.
Υπερβολική τροχιά
Μια υπερβολική τροχιά είναι η τροχιά που ακολουθεί ένα αντικείμενο όταν η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα διαφυγής ενός πλανήτη, δορυφόρου ή άστρου. Αυτό σημαίνει ότι η τροχιακή του εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από 1. Για παράδειγμα, οι μετεωρίτες πλησιάζουν σε υπερβολική τροχιά και οι διαπλανητικοί διαστημικοί ανιχνευτές φεύγουν από αυτήν.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η υπερβολή;
A: Η υπερβολή είναι ένας τύπος κωνικής τομής, η οποία είναι μια καμπύλη που σχηματίζεται από την τομή ενός κώνου και ενός επιπέδου. Δημιουργείται όταν το επίπεδο τέμνει και τα δύο μισά ενός διπλού κώνου, δημιουργώντας δύο καμπύλες που μοιάζουν ακριβώς η μία με την άλλη, αλλά ανοίγονται προς αντίθετες κατευθύνσεις.
Ερ: Πώς δημιουργείται μια υπερβολή;
A: Μια υπερβολή δημιουργείται όταν το επίπεδο τέμνει και τα δύο μισά ενός διπλού κώνου, δημιουργώντας δύο καμπύλες που μοιάζουν ακριβώς η μία με την άλλη αλλά ανοίγουν προς αντίθετες κατευθύνσεις. Αυτό συμβαίνει όταν η γωνία μεταξύ του άξονα του κώνου και του επιπέδου είναι μικρότερη από τη γωνία μεταξύ μιας ευθείας στην πλευρά του κώνου και του επιπέδου.
Ερ: Πού μπορούμε να βρούμε παραδείγματα υπερβολών στη φύση;
Α: Υπερβόλους μπορούμε να βρούμε σε πολλά σημεία της φύσης. Για παράδειγμα, ένα αντικείμενο σε ανοικτή τροχιά γύρω από ένα άλλο αντικείμενο - όπου δεν επιστρέφει ποτέ - μπορεί να κινείται σε σχήμα υπερβολής. Σε ένα ηλιακό ρολόι, η διαδρομή που ακολουθείται από την άκρη της σκιάς με την πάροδο του χρόνου έχει επίσης το σχήμα μιας υπερβολής.
Ερ: Ποια εξίσωση περιγράφει ένα γνωστό παράδειγμα υπερβολής;
Α: Ένα γνωστό παράδειγμα εξίσωσης που περιγράφει μια υπερβολή είναι f(x)=1/x .
Ερ: Ποιοι είναι κάποιοι άλλοι τύποι κωνικών τομών εκτός από τις υπερβολές;
Α: Άλλοι τύποι κωνικών τομών περιλαμβάνουν παραβολές, ελλείψεις και κύκλους.
Ερ: Πώς διαφέρουν αυτοί οι διαφορετικοί τύποι μεταξύ τους;
Α: Οι παραβολές είναι καμπύλες σε σχήμα U με ένα σημείο κορυφής- οι ελλείψεις είναι οβάλ σχήματα με δύο σημεία εστίασης- οι κύκλοι δεν έχουν σημεία κορυφής ή εστίασης- και τέλος, οι υπερβολές έχουν δύο ξεχωριστές καμπύλες γραμμές που ανοίγουν προς τα έξω από το κεντρικό τους σημείο σε διαφορετικές γωνίες.
