Υπερβολή (γεωμετρία)

Οι δύο ασύνδετες καμπύλες που αποτελούν μια υπερβολή ονομάζονται βραχίονες ή κλάδοι.

Τα δύο σημεία στα οποία οι κλάδοι βρίσκονται πλησιέστερα μεταξύ τους ονομάζονται κορυφές. Η γραμμή μεταξύ αυτών των δύο σημείων ονομάζεται εγκάρσιος άξονας ή μεγάλος άξονας. Το μέσο του εγκάρσιου άξονα είναι το κέντρο της υπερβολής.

Σε μεγάλες αποστάσεις από το κέντρο, οι κλάδοι της υπερβολής προσεγγίζουν δύο ευθείες. Οι δύο αυτές ευθείες ονομάζονται ασύμπτωτες. Καθώς η απόσταση από το κέντρο αυξάνεται, η υπερβολή πλησιάζει όλο και περισσότερο στις ασύμπτωτες, αλλά ποτέ δεν τις τέμνει.

Ο συζυγής άξονας ή δευτερεύων άξονας είναι κάθετος ή σε ορθή γωνία προς τον εγκάρσιο άξονα. Τα τελικά σημεία του συζυγούς άξονα βρίσκονται στο ύψος όπου ένα τμήμα που τέμνει την κορυφή και είναι κάθετο στον εγκάρσιο άξονα τέμνει τις ασύμπτωτες.

Μια υπερβολή που έχει κέντρο την αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, που είναι το σημείο (0,0), και έχει εγκάρσιο άξονα στον άξονα x μπορεί να γραφεί ως η εξίσωση

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

α είναι η απόσταση μεταξύ του κέντρου και μιας κορυφής. Το μήκος του εγκάρσιου άξονα είναι ίσο με 2a. b είναι το μήκος ενός κάθετου ευθύγραμμου τμήματος από μια κορυφή σε μια ασύμπτωτη. Το μήκος του συζυγούς άξονα είναι ίσο με 2b.

Οι δύο κλάδοι του παραπάνω τύπου υπερβολής ανοίγουν προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Αν οι κλάδοι ανοίγουν προς τα πάνω και προς τα κάτω και ο εγκάρσιος άξονας βρίσκεται στον άξονα y, τότε η υπερβολή μπορεί να γραφεί ως η εξίσωση

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.}

Μια υπερβολική τροχιά είναι η τροχιά που ακολουθεί ένα αντικείμενο όταν η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα διαφυγής ενός πλανήτη, δορυφόρου ή άστρου. Αυτό σημαίνει ότι η τροχιακή του εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από 1. Για παράδειγμα, οι μετεωρίτες πλησιάζουν σε υπερβολική τροχιά και οι διαπλανητικοί διαστημικοί ανιχνευτές φεύγουν από αυτήν.