Στα μαθηματικά, μια αλγεβρική εξίσωση, που ονομάζεται επίσης πολυωνυμική εξίσωση σε ένα δεδομένο πεδίο, είναι μια εξίσωση της μορφής

P = Q {\displaystyle P=Q} {\displaystyle P=Q}

όπου P και Q είναι πολυώνυμα πάνω από το πεδίο αυτό και έχουν μία (μονομεταβλητή) ή περισσότερες από μία (πολυμεταβλητές) μεταβλητές. Για παράδειγμα:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

είναι μια αλγεβρική εξίσωση πάνω στους ορθολογικούς αριθμούς.

Δύο εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες αν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι λύσεις της δεύτερης εξίσωσης πρέπει να είναι και λύσεις της πρώτης εξίσωσης και αντίστροφα. Η εξίσωση P = Q {\displaystyle P=Q}{\displaystyle P=Q} είναι ισοδύναμη με την εξίσωση P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}{\displaystyle P-Q=0} . Έτσι, η μελέτη των αλγεβρικών εξισώσεων είναι ισοδύναμη με τη μελέτη των πολυωνύμων.

Αν μια αλγεβρική εξίσωση είναι πάνω από τους ορθολογικούς, μπορεί πάντα να μετατραπεί σε μια ισοδύναμη εξίσωση, όπου όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Για παράδειγμα, στην εξίσωση που δίνεται παραπάνω, πολλαπλασιάζουμε με 42 = 2-3-7 και ομαδοποιούμε τους όρους στο πρώτο μέλος. Η εξίσωση μετατρέπεται σε

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Οι λύσεις μιας εξίσωσης είναι οι τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η εξίσωση είναι αληθής. Αλλά για τις αλγεβρικές εξισώσεις υπάρχουν και οι λεγόμενες ρίζες. Όταν λύνουμε μια εξίσωση, πρέπει να πούμε σε ποιο σύνολο επιτρέπονται οι λύσεις. Για παράδειγμα, για μια εξίσωση πάνω στους ορθολογικούς, μπορεί κανείς να βρει λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Τότε, η εξίσωση είναι μια διοφαντική εξίσωση. Μπορεί επίσης να αναζητήσει κανείς λύσεις στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Μπορεί επίσης να αναζητήσει κανείς λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί ήθελαν τις λύσεις των μονομεταβλητών εξισώσεων (δηλαδή εξισώσεων με μία μεταβλητή) με τη μορφή ριζικών εκφράσεων, όπως x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} για τη θετική λύση της x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}}{\displaystyle x^{2}+x-1=0} . Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν πώς να λύνουν εξισώσεις 2ου βαθμού (δηλαδή εξισώσεις στις οποίες η μεγαλύτερη δύναμη της μεταβλητής είναι 2) με αυτόν τον τρόπο. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, ο Gerolamo Cardano έλυσε την εξίσωση βαθμού 3 και ο Lodovico Ferrari την εξίσωση βαθμού 4. Τέλος, ο Niels Henrik Abel απέδειξε το 1824 ότι η εξίσωση βαθμού 5 και οι εξισώσεις μεγαλύτερου βαθμού δεν μπορούν πάντα να λυθούν με τη χρήση ριζών. Η θεωρία Galois, που πήρε το όνομά της από τον Évariste Galois, εισήχθη για να δώσει κριτήρια που αποφασίζουν αν μια εξίσωση είναι επιλύσιμη με τη χρήση ριζών.