Σύνθεση συνάρτησης
Στα μαθηματικά, η σύνθεση συναρτήσεων είναι ένας τρόπος για να δημιουργηθεί μια νέα συνάρτηση από δύο άλλες συναρτήσεις.
Αν έχουμε f μια συνάρτηση από το X στο Y και g μια συνάρτηση από το Y στο Z, τότε λέμε ότι η g που αποτελείται από την f γράφεται ως g ∘ f μια συνάρτηση από το X στο Z (παρατηρήστε ότι συνήθως γράφεται με τον αντίθετο τρόπο από αυτόν που θα περίμενε ο κόσμος, όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω).
Η τιμή της f δεδομένης της εισόδου x γράφεται ως f(x). Η τιμή της g ∘ f δεδομένης της εισόδου x γράφεται (g ∘ f)(x) και ορίζεται ως g(f(x)) (πράγμα που σημαίνει ότι ο τρόπος που γράφουμε το g σε σύνθεση με το f έχει νόημα).
Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα. Έστω f μια συνάρτηση που διπλασιάζει έναν αριθμό (τον πολλαπλασιάζει επί 2) και έστω g μια συνάρτηση που αφαιρεί 1 από έναν αριθμό.
Αυτά θα γράφονται ως εξής:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g που αποτελείται από f θα ήταν η συνάρτηση που διπλασιάζει έναν αριθμό και στη συνέχεια αφαιρεί 1 από αυτόν:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
Η συνάρτηση f με g θα ήταν η συνάρτηση που αφαιρεί 1 από έναν αριθμό και στη συνέχεια τον διπλασιάζει:
Ιδιότητες
Η σύνθεση συναρτήσεων μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι συσχετιστική, πράγμα που σημαίνει:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Ωστόσο, η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι γενικά αντιμεταθετική, πράγμα που σημαίνει:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Αυτό φαίνεται στο πρώτο παράδειγμα όπου (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 και (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η σύνθεση των λειτουργιών;
Α: Η σύνθεση συναρτήσεων είναι ένας τρόπος δημιουργίας μιας νέας συνάρτησης από δύο άλλες συναρτήσεις μέσω μιας διαδικασίας που μοιάζει με αλυσίδα.
Ερ: Πώς γράφεται η τιμή της g σε σύνθεση με την f;
Α: Η τιμή της g που συντίθεται με την f γράφεται ως (g ∘ f)(x), και ορίζεται ως g(f(x)).
Ερ: Ποια είναι μερικά παραδείγματα συναρτήσεων;
A: Ένα παράδειγμα θα μπορούσε να είναι μια συνάρτηση που διπλασιάζει έναν αριθμό (τον πολλαπλασιάζει επί 2) και μια άλλη που αφαιρεί 1 από έναν αριθμό.
Ερ: Ποιο θα ήταν ένα παράδειγμα της συνάρτησης g που αποτελείται από την f;
Α: Ένα παράδειγμα της g που συντίθεται με την f θα ήταν η συνάρτηση που διπλασιάζει έναν αριθμό και στη συνέχεια αφαιρεί 1 από αυτόν. Δηλαδή (g ∘ f)(x)=2x-1.
Ερ: Ποιο θα ήταν ένα παράδειγμα της f που συντίθεται με την g;
A: Ένα παράδειγμα της f που συντίθεται με την g θα ήταν η συνάρτηση που αφαιρεί 1 από έναν αριθμό και στη συνέχεια τον διπλασιάζει- δηλαδή (f ∘ g)(x)=2(x-1).
Ερ: Μπορεί η σύνθεση να γενικευτεί και σε δυαδικές σχέσεις;
Α: Ναι, η σύνθεση μπορεί επίσης να γενικευτεί σε δυαδικές σχέσεις, όπου μερικές φορές αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας το ίδιο σύμβολο (όπως στο R ∘ S).
