Συνάρτηση γάμμα
Στα μαθηματικά, η συνάρτηση γάμμα (Γ(z)) είναι μια επέκταση της παραγοντικής συνάρτησης σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους. Για θετικούς ακέραιους, ορίζεται ως Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς. Δεν ορίζεται όμως για αρνητικούς ακέραιους και το μηδέν. Για έναν μιγαδικό αριθμό του οποίου το πραγματικό μέρος δεν είναι αρνητικός ακέραιος αριθμός, η συνάρτηση ορίζεται από:
Η συνάρτηση γάμμα κατά μήκος μέρους του πραγματικού άξονα
Ιδιότητες
Ιδιαίτερες τιμές
Ορισμένες συγκεκριμένες τιμές της συνάρτησης γάμμα είναι:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\Γάμμα (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\\Γάμμα (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\Γάμμα (1)&=0!&=1\\\\\\Γάμμα (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Γάμμα (2)&=1!&=1\\\\\\Γάμμα (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\\\\\Γάμμα (3)&=2!&=2\\\\\\\Γάμμα (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\\\\\Γάμμα (4)&=3!&=6\\\\\\end{array}}} 
Συνάρτηση Pi
Ο Gauss εισήγαγε τη συνάρτηση Pi. Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να δηλωθεί η συνάρτηση γάμμα. Από την άποψη της συνάρτησης γάμμα, η συνάρτηση Pi είναι
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t, {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t},} 
έτσι ώστε
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n.
Εφαρμογές
Αναλυτική θεωρία αριθμών
Η συνάρτηση γάμμα χρησιμοποιείται για τη μελέτη της συνάρτησης ζήτα του Riemann. Μια ιδιότητα της συνάρτησης Riemann zeta είναι η συναρτησιακή της εξίσωση:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Ο Bernhard Riemann βρήκε μια σχέση μεταξύ αυτών των δύο συναρτήσεων. Αυτό έγινε στην εργασία του 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Σχετικά με τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από μια δεδομένη ποσότητα").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η συνάρτηση γάμμα στα μαθηματικά;
A: Η συνάρτηση γάμμα είναι ένα βασικό θέμα στον τομέα των ειδικών συναρτήσεων στα μαθηματικά.
Ερ: Ποια είναι η επέκταση της παραγοντικής συνάρτησης σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους;
Α: Η συνάρτηση γάμμα είναι μια επέκταση της παραγοντικής συνάρτησης σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους.
Ερ: Πώς ορίζεται η συνάρτηση γάμμα για θετικούς ακέραιους αριθμούς;
Α: Για θετικούς ακέραιους αριθμούς, η συνάρτηση γάμμα ορίζεται ως Γ(n) = (n-1)!.
Ερ: Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς;
Α: Ναι, η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς.
Ερ: Ορίζεται η συνάρτηση γάμμα για αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και το μηδέν;
Α: Όχι, η συνάρτηση γάμμα δεν ορίζεται για αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και το μηδέν.
Ερ: Πώς ορίζεται η συνάρτηση γάμμα για έναν μιγαδικό αριθμό του οποίου το πραγματικό μέρος δεν είναι αρνητικός ακέραιος;
Α: Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για έναν μιγαδικό αριθμό του οποίου το πραγματικό μέρος δεν είναι αρνητικός ακέραιος αριθμός με έναν ειδικό τύπο που δεν δίνεται στο κείμενο.
Ερ: Γιατί η συνάρτηση γάμμα είναι σημαντική στα μαθηματικά;
Α: Η συνάρτηση γάμμα είναι σημαντική στα μαθηματικά επειδή αποτελεί βασικό θέμα στο πεδίο των ειδικών συναρτήσεων και επεκτείνει την παραγοντική συνάρτηση σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους.
