Στα μαθηματικά, η συνάρτηση γάμμα (Γ(z)) είναι μια επέκταση της παραγοντικής συνάρτησης σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους. Για θετικούς ακέραιους, ορίζεται ως Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς. Δεν ορίζεται όμως για αρνητικούς ακέραιους και το μηδέν. Για έναν μιγαδικό αριθμό του οποίου το πραγματικό μέρος δεν είναι αρνητικός ακέραιος αριθμός, η συνάρτηση ορίζεται από:
Ορισμένες συγκεκριμένες τιμές της συνάρτησης γάμμα είναι:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\Γάμμα (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\\Γάμμα (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\Γάμμα (1)&=0!&=1\\\\\\Γάμμα (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Γάμμα (2)&=1!&=1\\\\\\Γάμμα (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\\\\\Γάμμα (3)&=2!&=2\\\\\\\Γάμμα (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\\\\\Γάμμα (4)&=3!&=6\\\\\\end{array}}} 
Ο Gauss εισήγαγε τη συνάρτηση Pi. Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να δηλωθεί η συνάρτηση γάμμα. Από την άποψη της συνάρτησης γάμμα, η συνάρτηση Pi είναι
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t, {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t},} 
έτσι ώστε
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n.
Η συνάρτηση γάμμα χρησιμοποιείται για τη μελέτη της συνάρτησης ζήτα του Riemann. Μια ιδιότητα της συνάρτησης Riemann zeta είναι η συναρτησιακή της εξίσωση:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Ο Bernhard Riemann βρήκε μια σχέση μεταξύ αυτών των δύο συναρτήσεων. Αυτό έγινε στην εργασία του 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Σχετικά με τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από μια δεδομένη ποσότητα").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
A: Η συνάρτηση γάμμα είναι ένα βασικό θέμα στον τομέα των ειδικών συναρτήσεων στα μαθηματικά.
Α: Η συνάρτηση γάμμα είναι μια επέκταση της παραγοντικής συνάρτησης σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους.
Α: Για θετικούς ακέραιους αριθμούς, η συνάρτηση γάμμα ορίζεται ως Γ(n) = (n-1)!.
Α: Ναι, η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς.
Α: Όχι, η συνάρτηση γάμμα δεν ορίζεται για αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και το μηδέν.
Α: Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για έναν μιγαδικό αριθμό του οποίου το πραγματικό μέρος δεν είναι αρνητικός ακέραιος αριθμός με έναν ειδικό τύπο που δεν δίνεται στο κείμενο.
Α: Η συνάρτηση γάμμα είναι σημαντική στα μαθηματικά επειδή αποτελεί βασικό θέμα στο πεδίο των ειδικών συναρτήσεων και επεκτείνει την παραγοντική συνάρτηση σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς ακέραιους.
