Χρυσή τομή

Με έναν αριθμό α και έναν άλλο μικρότερο αριθμό β, ο λόγος των δύο αριθμών βρίσκεται διαιρώντας τους. Ο λόγος τους είναι a/b. Ένας άλλος λόγος βρίσκεται προσθέτοντας τους δύο αριθμούς α+β και διαιρώντας τον με τον μεγαλύτερο αριθμό α. Ο νέος λόγος είναι (α+β)/α. Αν αυτοί οι δύο λόγοι είναι ίσοι με τον ίδιο αριθμό, τότε ο αριθμός αυτός ονομάζεται χρυσός λόγος. Το ελληνικό γράμμα φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ (phi) χρησιμοποιείται συνήθως ως όνομα για τη χρυσή τομή.

Για παράδειγμα, εάν b = 1 και a/b = φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ , τότε a = φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ . Ο δεύτερος λόγος (a+b)/a είναι τότε ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } $(\varphi +1)/\varphi$ . Επειδή αυτές οι δύο αναλογίες είναι ίσες, αυτό είναι αληθές:

φ = φ + 1 φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}} $\varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}$

Ένας τρόπος για να γράψετε αυτόν τον αριθμό είναι

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Το 5 {\displaystyle {\sqrt {5}} ${\sqrt {5}}$ είναι όπως κάθε αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, κάνει 5 (ή ποιος αριθμός πολλαπλασιάζεται): 5 × 5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} ${\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5$ .

Η χρυσή τομή είναι ένας άρρητος αριθμός. Αν κάποιος προσπαθήσει να τον γράψει, δεν θα σταματήσει ποτέ και δεν θα σχηματίσει ποτέ μοτίβο, αλλά θα ξεκινήσει έτσι: 1,6180339887... Ένα σημαντικό πράγμα σχετικά με αυτόν τον αριθμό είναι ότι ένα άτομο μπορεί να αφαιρέσει 1 από αυτόν ή να διαιρέσει 1 με αυτόν. Με οποιονδήποτε τρόπο, ο αριθμός θα συνεχίσει και δεν θα σταματήσει ποτέ.

Χρυσό ορθογώνιο

Αν το μήκος ενός ορθογωνίου διαιρεμένο με το πλάτος του είναι ίσο με τη χρυσή τομή, τότε το ορθογώνιο είναι "χρυσό ορθογώνιο". Εάν ένα τετράγωνο αποκοπεί από το ένα άκρο ενός χρυσού ορθογωνίου, τότε το άλλο άκρο είναι ένα νέο χρυσό ορθογώνιο. Στην εικόνα, το μεγάλο ορθογώνιο (μπλε και ροζ μαζί) είναι ένα χρυσό ορθογώνιο επειδή a / b = φ {\displaystyle a/b=\varphi } $a/b=\varphi$ . Το μπλε μέρος (Β) είναι ένα τετράγωνο. Το ροζ μέρος από μόνο του (Α) είναι ένα άλλο χρυσό ορθογώνιο επειδή b / ( a - b ) = φ {\displaystyle b/(a-b)=\varphi } $b/(a-b)=\varphi$ . Το μεγάλο ορθογώνιο και το ροζ ορθογώνιο έχουν την ίδια μορφή, αλλά το ροζ ορθογώνιο είναι μικρότερο και είναι γυρισμένο.

Το μεγάλο ορθογώνιο BA είναι ένα χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή η αναλογία b:a είναι 1: φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ . Για κάθε τέτοιο ορθογώνιο, και μόνο για ορθογώνια της συγκεκριμένης αναλογίας, αν αφαιρέσουμε το τετράγωνο Β, αυτό που μένει, το Α, είναι ένα άλλο χρυσό ορθογώνιο- δηλαδή, με τις ίδιες αναλογίες με το αρχικό ορθογώνιο.

Αριθμοί Fibonacci

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι είναι ένας κατάλογος αριθμών. Κάποιος μπορεί να βρει τον επόμενο αριθμό στη λίστα προσθέτοντας τους δύο τελευταίους αριθμούς μαζί. Αν κάποιος διαιρέσει έναν αριθμό της λίστας με τον αριθμό που προηγήθηκε, η αναλογία αυτή πλησιάζει όλο και περισσότερο στη χρυσή τομή.

Αριθμός Fibonacci	διαιρούμενο με το προηγούμενο	αναλογία
1
1	1/1	= 1.0000
2	2/1	= 2.0000
3	3/2	= 1.5000
5	5/3	= 1.6667
8	8/5	= 1.6000
13	13/8	= 1.6250
21	21/13	= 1.6154...
34	34/21	= 1.6190...
55	55/34	= 1.6177...
89	89/55	= 1.6182...
...	...	...
	φ \displaystyle \varphi } $\varphi$	= 1.6180...

Χρυσή αναλογία στη φύση

Στη φύση, η χρυσή τομή χρησιμοποιείται συχνά για τη διάταξη των φύλλων ή των λουλουδιών. Αυτά χρησιμοποιούν τη χρυσή γωνία των 137,5 μοιρών περίπου. Τα φύλλα ή τα λουλούδια που είναι τοποθετημένα σε αυτή τη γωνία αξιοποιούν καλύτερα το φως του ήλιου.

Ένα φύλλο κοινού κισσού, που δείχνει τη χρυσή τομή

Η χρήση της χρυσής γωνίας θα χρησιμοποιήσει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το φως του ήλιου. Αυτή είναι μια άποψη από την κορυφή.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποιος είναι ο λόγος δύο αριθμών;

A: Ο λόγος δύο αριθμών βρίσκεται με τη διαίρεσή τους, οπότε ο λόγος θα είναι α/β.

Ερ: Πώς μπορεί να βρεθεί ένας άλλος λόγος;

Α: Ένας άλλος λόγος μπορεί να βρεθεί προσθέτοντας τους δύο αριθμούς και στη συνέχεια διαιρώντας το άθροισμα αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμό, το α. Αυτός ο νέος λόγος θα ήταν (α+β)/α.

Ερ: Πώς ονομάζεται η περίπτωση που οι δύο αυτοί λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους;

Α: Όταν αυτές οι δύο αναλογίες είναι ίσες μεταξύ τους, ονομάζεται χρυσή τομή. Συνήθως παριστάνεται με το ελληνικό γράμμα צ ή phi.

Ερ: Αν b = 1 και a/b = צ , τι σημαίνει αυτό για το a;

Α: Αν b = 1 και a/b = צ , τότε αυτό σημαίνει ότι και το a = צ.

Ερ: Πώς μπορεί κανείς να γράψει αυτόν τον αριθμό;

Α: Ένας τρόπος για να γράψει κανείς αυτόν τον αριθμό είναι צ = 1 + 5 / 2 = 1,618...

Ερ: Τι σημαίνει αν αφαιρέσουμε το 1 από αυτόν ή αν διαιρέσουμε το 1 με αυτόν;

Α: Αν αφαιρέσετε το 1 από αυτό ή διαιρέσετε το 1 με αυτό, θα πάρετε πίσω τον ίδιο αριθμό - με άλλα λόγια, και οι δύο θα ισούνται με τη χρυσή τομή.

Ερ: Είναι η χρυσή αναλογία ένας παράλογος αριθμός;

Α: Ναι, η χρυσή αναλογία είναι ένας ανορθολογικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι αν κάποιος προσπαθήσει να τον γράψει, δεν θα υπάρχει ποτέ τέλος και κανένα μοτίβο - μόνο που θα ξεκινάει με κάτι σαν "1,6180339887...".