Αντιδιαφοροποίηση

Η αντιδιαφοροποίηση (που ονομάζεται επίσης αόριστη ολοκλήρωση) είναι κάτι που γίνεται στα μαθηματικά. Είναι το αντίθετο της διαφοροποίησης.

Τα αντιπαράγωγα μπορούν να σας πουν για το μέγεθος με γενικό τρόπο. Η αντιδιαφοροποίηση γίνεται σε πράγματα όπως οι εξισώσεις. Η αντιδιαφοροποίηση σας δίνει ένα πράγμα που ονομάζεται αντιπαραγωγοί. Ένα αντιδιαφορικό παράγωγο είναι ένα άλλο είδος εξίσωσης. Η αντιδιαφοροποίηση είναι σαν την ολοκλήρωση με αλλά χωρίς όρια. Γι' αυτό ονομάζεται αόριστη.

Μια αντιπαράγωγος γράφεται ως εξής: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Απλή ενσωμάτωση

Για να ολοκληρώσετε a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Προσθέστε 1 στη δύναμη n {\displaystyle n} n, οπότε a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}είναι τώρα a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Διαιρέστε όλα αυτά με τη νέα δύναμη, οπότε είναι τώρα a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Προσθέστε τη σταθερά c {\displaystyle c} {\displaystyle c}, ώστε να είναι τώρα a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Όταν υπάρχουν πολλοί όροι x {\displaystyle x}x, ολοκληρώστε κάθε μέρος μόνο του:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Αυτό λειτουργεί μόνο αν τα μέρη προστίθενται ή αφαιρούνται.)

Παραδείγματα

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Η μετατροπή κλασμάτων και ριζών σε δυνάμεις διευκολύνει:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Ολοκλήρωση μιας παρένθεσης ("κανόνας της αλυσίδας")

Αν θέλετε να ολοκληρώσετε μια παρένθεση όπως ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}, πρέπει να το κάνουμε με διαφορετικό τρόπο. Ονομάζεται κανόνας της αλυσίδας. Είναι σαν την απλή ολοκλήρωση. Λειτουργεί μόνο αν το x {\displaystyle x} xστην παρένθεση έχει δύναμη του 1 (είναι γραμμικό) όπως x {\displaystyle x} xή 5 x {\displaystyle 5x} {\displaystyle 5x}(όχι x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}ή x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ). {\displaystyle x^{-7}}

Για να κάνετε ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Προσθέστε 1 στη δύναμη 3 {\displaystyle 3} {\displaystyle 3}, ώστε να είναι τώρα ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Διαιρέστε όλα αυτά με τη νέα δύναμη για να λάβετε ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Διαιρέστε όλα αυτά με την παράγωγο της αγκύλης ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}για να πάρουμε ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Προσθέστε τη σταθερά c {\displaystyle c} {\displaystyle c}για να δώσετε 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Παραδείγματα

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Σχετικές σελίδες

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι η αντιδιαφοροποίηση;


A: Η αντιδιαφοροποίηση (που ονομάζεται επίσης αόριστη ολοκλήρωση) είναι η διαδικασία εύρεσης μιας συγκεκριμένης συνάρτησης στον λογισμό. Είναι το αντίθετο της διαφοροποίησης και περιλαμβάνει την επεξεργασία μιας συνάρτησης για να δώσει μια άλλη συνάρτηση (ή μια κατηγορία συναρτήσεων) που ονομάζεται αντιδιαστολή.

Ερ: Πώς αναπαρίσταται;


Α: Όταν αναπαρίστανται ως μεμονωμένα γράμματα, τα αντιπαράγωγα παίρνουν συχνά τη μορφή λατινικών κεφαλαίων γραμμάτων, όπως τα F και G. Γενικά, ένα αντιπαράγωγο γράφεται στη μορφή ∫f(x) dx.

Ερ: Τι περιλαμβάνει η αντιδιαφοροποίηση;


Α: Η αντιδιαφοροποίηση περιλαμβάνει την επεξεργασία μιας συνάρτησης ώστε να δώσει μια άλλη συνάρτηση (ή μια κατηγορία συναρτήσεων) που ονομάζεται αντιδιαγωγικό.

Ερ: Πώς διαφέρει από την ολοκλήρωση;


Α: Η αντιδιαφοροποίηση διαφέρει από την ολοκλήρωση στο ότι δεν περιλαμβάνει όρια - γι' αυτό αναφέρεται ως αόριστη ολοκλήρωση.

Ερ: Ποια είναι μερικά παραδείγματα για το πώς μπορεί να εκφραστεί η αντιδιαφοροποίηση;


Α: Παραδείγματα του πώς μπορεί να εκφραστεί η αντιδιαφοροποίηση περιλαμβάνουν τα F και G όταν αναπαρίστανται ως μεμονωμένα γράμματα, ή το ∫f(x) dx όταν γράφεται σε γενική μορφή.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3