Ολοκλήρωμα

Στον λογισμό, ένα ολοκλήρωμα είναι ο χώρος κάτω από τη γραφική παράσταση μιας εξίσωσης (μερικές φορές αναφέρεται ως "η περιοχή κάτω από μια καμπύλη"). Το ολοκλήρωμα είναι το αντίστροφο της παραγώγου και είναι το αντίθετο του διαφορικού λογισμού. Μια παράγωγος είναι η απότομη (ή "κλίση"), ως ρυθμός μεταβολής, μιας καμπύλης. Η λέξη "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ως επίθετο που σημαίνει "σχετίζεται με ακέραιους αριθμούς".

Το σύμβολο της ολοκλήρωσης, στον λογισμό, είναι: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}}} $\int _{\,}^{\,}$ ως ένα ψηλό γράμμα "S". Το σύμβολο αυτό χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Gottfried Wilhelm Leibniz, ο οποίος το χρησιμοποίησε ως στυλιζαρισμένο "ſ" (για το summa, λατινικά για το άθροισμα) για να δηλώσει το άθροισμα του εμβαδού που καλύπτει μια εξίσωση, όπως y = f(x).

Τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοι αποτελούν μέρος ενός κλάδου των μαθηματικών που ονομάζεται λογισμός. Η σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο είναι πολύ σημαντική και ονομάζεται Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού. Το θεώρημα λέει ότι ένα ολοκλήρωμα μπορεί να αντιστραφεί από μια παράγωγο, παρόμοια με το πώς μια πρόσθεση μπορεί να αντιστραφεί από μια αφαίρεση.

Η ολοκλήρωση βοηθά όταν προσπαθείτε να πολλαπλασιάσετε μονάδες σε ένα πρόβλημα. Για παράδειγμα, αν ένα πρόβλημα με ρυθμό, ( απόσταση χρόνος ) {\displaystyle \left({\frac {\text{απόσταση}}{\text{χρόνος}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , χρειάζεται μια απάντηση μόνο με την απόσταση, μια λύση είναι η ολοκλήρωση ως προς το χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε με το χρόνο για να ακυρώσουμε το χρόνο σε ( απόσταση χρόνος ) × χρόνος {\displaystyle \left({\frac {\text{απόσταση}}{\text{χρόνος}}}\right)\times {\text{χρόνος}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Αυτό γίνεται προσθέτοντας μικρές φέτες του γραφήματος ρυθμού μαζί. Οι φέτες είναι κοντά στο μηδέν σε πλάτος, αλλά η πρόσθεσή τους για πάντα τις κάνει να αθροίζονται σε ένα σύνολο. Αυτό ονομάζεται άθροισμα Riemann.

Προσθέτοντας αυτές τις φέτες μαζί προκύπτει η εξίσωση της οποίας η πρώτη εξίσωση είναι η παράγωγος. Τα ολοκληρώματα είναι σαν ένας τρόπος για να προσθέσετε πολλά μικροσκοπικά πράγματα μαζί με το χέρι. Είναι σαν το άθροισμα, το οποίο είναι η πρόσθεση 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ δεκαδικούς αριθμούς και τα κλάσματα στο ενδιάμεσο.

Μια άλλη φορά που η ολοκλήρωση είναι χρήσιμη είναι κατά την εύρεση του όγκου ενός στερεού σώματος. Μπορεί να προσθέτει δισδιάστατες (χωρίς πλάτος) φέτες του στερεού μαζί για πάντα μέχρι να υπάρχει πλάτος. Αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο έχει τώρα τρεις διαστάσεις: τις αρχικές δύο και ένα πλάτος. Αυτό δίνει τον όγκο του τρισδιάστατου αντικειμένου που περιγράφεται.

Ποιο είναι το ολοκλήρωμα (animation)

Η ολοκλήρωση αφορά την εύρεση της επιφάνειας s, δεδομένων των a, b και y = f(x). Ο τύπος για το ολοκλήρωμα από το a στο b, που απεικονίζεται στο γράφημα παραπάνω, είναι:
Τύπος: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Αντιπαραγωγικό

Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το ολοκλήρωμα είναι το αντιπαράγωγο.

Αν πάρουμε τη συνάρτηση 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ , για παράδειγμα, και την αντιδιαφοροποιούμε, μπορούμε να πούμε ότι ένα ολοκλήρωμα της 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ είναι x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Λέμε ένα ολοκλήρωμα και όχι το ολοκλήρωμα, επειδή η αντιδιαστολή μιας συνάρτησης δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα, η x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ διαφοροποιείται επίσης σε 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Εξαιτίας αυτού, όταν παίρνουμε την αντιπαράγωγο πρέπει να προσθέσουμε μια σταθερά C. Αυτό ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα. Αυτό συμβαίνει επειδή όταν βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης, οι σταθερές ισούνται με 0, όπως στη συνάρτηση

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Προσέξτε το 0: δεν μπορούμε να το βρούμε αν έχουμε μόνο την παράγωγο, οπότε το ολοκλήρωμα είναι

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$

Απλές εξισώσεις

Μια απλή εξίσωση όπως η y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ μπορεί να ολοκληρωθεί ως προς το x χρησιμοποιώντας την ακόλουθη τεχνική. Για να ολοκληρώσετε, προσθέτετε 1 στη δύναμη στην οποία ανυψώνεται το x και στη συνέχεια διαιρείτε το x με την τιμή αυτής της νέας δύναμης. Επομένως, η ολοκλήρωση μιας κανονικής εξίσωσης ακολουθεί τον εξής κανόνα: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Το d x {\displaystyle dx} $dx$ στο τέλος δείχνει ότι ολοκληρώνουμε ως προς το x, δηλαδή καθώς το x μεταβάλλεται. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι το αντίστροφο της διαφοροποίησης. Ωστόσο, προστίθεται μια σταθερά, C, όταν ολοκληρώνετε. Αυτή ονομάζεται σταθερά ολοκλήρωσης. Αυτό απαιτείται επειδή η διαφοροποίηση ενός ακεραίου έχει ως αποτέλεσμα το μηδέν, επομένως η ολοκλήρωση του μηδενός (που μπορεί να τοποθετηθεί στο τέλος οποιουδήποτε ολοκληρώματος) παράγει έναν ακέραιο, C. Η τιμή αυτού του ακέραιου θα βρεθεί χρησιμοποιώντας δεδομένες συνθήκες.

Οι εξισώσεις με περισσότερους από έναν όρους απλά ολοκληρώνονται με την ολοκλήρωση κάθε μεμονωμένου όρου:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει e και ln

Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες για την ολοκλήρωση με χρήση του e και του φυσικού λογάριθμου. Το πιο σημαντικό είναι ότι το e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ είναι το ολοκλήρωμα του εαυτού του (με την προσθήκη μιας σταθεράς ολοκλήρωσης): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Ο φυσικός λογάριθμος, ln, είναι χρήσιμος όταν ολοκληρώνουμε εξισώσεις με 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Αυτές δεν μπορούν να ολοκληρωθούν χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο (προσθέστε το ένα στη δύναμη, διαιρέστε με τη δύναμη), επειδή η πρόσθεση του ενός στη δύναμη παράγει το 0 και η διαίρεση με το 0 δεν είναι δυνατή. Αντ' αυτού, το ολοκλήρωμα του 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ είναι ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Σε μια πιο γενική μορφή: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Οι δύο κατακόρυφες μπάρες υποδεικνύουν μια απόλυτη τιμή- το πρόσημο (θετικό ή αρνητικό) της f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) αγνοείται. Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει τιμή για τον φυσικό λογάριθμο αρνητικών αριθμών.

Ιδιότητες

Άθροισμα συναρτήσεων

Το ολοκλήρωμα ενός αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα του ολοκληρώματος κάθε συνάρτησης, δηλαδή,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι απλή: Ο ορισμός ενός ολοκληρώματος είναι ένα όριο αθροισμάτων. Έτσι

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Σημειώστε ότι και τα δύο ολοκληρώματα έχουν τα ίδια όρια.

Σταθερές στην ολοκλήρωση

Όταν μια σταθερά βρίσκεται σε ένα ολοκλήρωμα με μια συνάρτηση, η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί. Περαιτέρω, όταν μια σταθερά c δεν συνοδεύεται από μια συνάρτηση, η τιμή της είναι c * x. Δηλαδή,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ και

Αυτό μπορεί να γίνει μόνο με μια σταθερά.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Η απόδειξη γίνεται και πάλι με τον ορισμό του ολοκληρώματος.

Άλλα

Αν τα a, b και c βρίσκονται με τη σειρά (δηλ. το ένα μετά το άλλο στον άξονα x), το ολοκλήρωμα της f(x) από το σημείο a στο σημείο b συν το ολοκλήρωμα της f(x) από το σημείο b στο c ισούται με το ολοκλήρωμα από το σημείο a στο c. Δηλαδή,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ αν είναι στη σειρά. (Αυτό ισχύει επίσης όταν τα a, b, c δεν είναι στη σειρά, αν ορίσουμε ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ ) .

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Αυτό προκύπτει από το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Και πάλι, ακολουθώντας το FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι ένα ολοκληρωμένο;

A: Ένα ολοκλήρωμα είναι ο χώρος κάτω από τη γραφική παράσταση μιας εξίσωσης, γνωστός και ως "το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη". Είναι το αντίστροφο της παραγώγου και μέρος ενός κλάδου των μαθηματικών που ονομάζεται λογισμός.

Ερ: Πώς μοιάζει το σύμβολο της ολοκλήρωσης;

A: Το σύμβολο της ολοκλήρωσης στον λογισμό μοιάζει με ένα ψηλό γράμμα "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}}.

Ερ: Πώς σχετίζονται τα ολοκληρώματα με τις παραγώγους;

A: Τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοι συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το οποίο δηλώνει ότι ένα ολοκλήρωμα μπορεί να αντιστραφεί από μια παράγωγο, παρόμοια με το πώς μια πρόσθεση μπορεί να αντιστραφεί από την αφαίρεση.

Ερ: Πότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ολοκλήρωση;

Α: Η ολοκλήρωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν προσπαθούμε να πολλαπλασιάσουμε μονάδες σε ένα πρόβλημα ή όταν βρίσκουμε τον όγκο ενός στερεού σώματος. Βοηθά στην πρόσθεση δισδιάστατων τεμαχίων μαζί μέχρι να υπάρξει πλάτος, δίνοντας στο αντικείμενο τρεις διαστάσεις και τον όγκο του.

Ερ: Πώς μοιάζει η ολοκλήρωση με την άθροιση;

Α: Η ολοκλήρωση μοιάζει με την άθροιση στο ότι προσθέτει πολλά μικροσκοπικά πράγματα μαζί, αλλά με την ολοκλήρωση πρέπει να προσθέσουμε και όλους τους δεκαδικούς αριθμούς και τα κλάσματα ενδιάμεσα.

Ερ: Τι σημαίνει άθροισμα Riemann;

A: Το άθροισμα Riemann αναφέρεται στην πρόσθεση μικρών κομματιών της γραφικής παράστασης του ρυθμού μέχρι να αθροιστούν και να αποτελέσουν μια ολόκληρη εξίσωση.