Φανταστικές μονάδες

Στα μαθηματικά, οι φανταστικές μονάδες, ή i, είναι αριθμοί που μπορούν να αναπαρασταθούν με εξισώσεις αλλά αναφέρονται σε τιμές που δεν θα μπορούσαν να υπάρχουν φυσικά στην πραγματική ζωή. Ο μαθηματικός ορισμός της φανταστικής μονάδας είναι i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ , η οποία έχει την ιδιότητα i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Ο λόγος που δημιουργήθηκα ήταν για να απαντήσω σε μια πολυωνυμική εξίσωση, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , η οποία κανονικά δεν έχει λύση καθώς η τιμή του x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ θα έπρεπε να ισούται με -1. Αν και το πρόβλημα είναι επιλύσιμο, η τετραγωνική ρίζα του -1 δεν θα μπορούσε να αναπαρασταθεί από μια φυσική ποσότητα οποιουδήποτε αντικειμένου στην πραγματική ζωή.

Τετραγωνική ρίζα του i

Μερικές φορές θεωρείται ότι πρέπει να δημιουργηθεί ένας άλλος αριθμός για να εμφανιστεί η τετραγωνική ρίζα του i, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Η τετραγωνική ρίζα του i μπορεί να γραφτεί ως εξής: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Αυτό μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Δυνάμεις του i

Οι δυνάμεις του i ακολουθούν ένα προβλέψιμο μοτίβο:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με το ακόλουθο μοτίβο, όπου το n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Σχετικές σελίδες

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι η φανταστική μονάδα;

A: Η φανταστική μονάδα είναι μια τιμή αριθμού που υπάρχει μόνο εκτός των πραγματικών αριθμών και χρησιμοποιείται στην άλγεβρα.

Ερ: Πώς χρησιμοποιούμε τη φανταστική μονάδα;

Α: Πολλαπλασιάζουμε τη φανταστική μονάδα με έναν πραγματικό αριθμό για να δημιουργήσουμε έναν φανταστικό αριθμό.

Ερ: Σε τι χρησιμοποιούνται οι φανταστικοί αριθμοί;

Α: Οι φανταστικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση πολλών μαθηματικών προβλημάτων.

Ερ: Μπορούμε να αναπαραστήσουμε έναν φανταστικό αριθμό με αντικείμενα της πραγματικής ζωής;

Α: Όχι, δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε έναν φανταστικό αριθμό με αντικείμενα της πραγματικής ζωής.

Ερ: Από πού προέρχεται η φανταστική μονάδα;

Α: Η φανταστική μονάδα προέρχεται από τα μαθηματικά και την άλγεβρα.

Ερ: Είναι η φανταστική μονάδα μέρος των πραγματικών αριθμών;

Α: Όχι, υπάρχει εκτός της σφαίρας των πραγματικών αριθμών.

Ερ: Πώς υπολογίζεται ένας φανταστικός αριθμός; Α: Υπολογίζετε έναν φανταστικό αριθμό πολλαπλασιάζοντας έναν πραγματικό αριθμό με τη φανταστική μονάδα.