Φανταστικός αριθμός
Οι φανταστικοί αριθμοί είναι αριθμοί που προκύπτουν από το συνδυασμό ενός πραγματικού αριθμού με τη φανταστική μονάδα, που ονομάζεται i, όπου το i ορίζεται ως i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
. Ορίζονται ξεχωριστά από τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, δεδομένου ότι αποτελούν τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού αντί για έναν θετικό πραγματικό αριθμό. Αυτό δεν είναι δυνατό με τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του για να προκύψει αρνητικός αριθμός (π.χ. 3*3 = 9 και -3*-3 = 9).
Ένας τρόπος σκέψης γι' αυτούς είναι να πούμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι για τους αρνητικούς αριθμούς ό,τι είναι οι αρνητικοί αριθμοί για τους θετικούς αριθμούς. Αν πω "πήγαινε ανατολικά κατά -1 μίλι" είναι το ίδιο με το αν είχα πει "πήγαινε δυτικά κατά 1 μίλι". Αν πω "πήγαινε ανατολικά κατά i μίλια" σημαίνει το ίδιο πράγμα σαν να είχα πει "πήγαινε βόρεια κατά 1 μίλι". Αν πω "πήγαινε ανατολικά κατά -i μίλια" σημαίνει το ίδιο σαν να είχα πει "πήγαινε νότια κατά 1 μίλι".
Η προσθήκη είναι επίσης εύκολη. Αν πω "πήγαινε ανατολικά κατά 1 + i μίλια" σημαίνει το ίδιο με το αν είχα πει "πήγαινε ανατολικά κατά ένα μίλι και βόρεια κατά ένα μίλι".
Ο πολλαπλασιασμός δύο φανταστικών αριθμών μοιάζει πολύ με τον πολλαπλασιασμό ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό αριθμό. Αν πω "πήγαινε ανατολικά κατά 2*-3 μίλια" σημαίνει "γύρισε όλη τη διαδρομή (έτσι ώστε τώρα να κοιτάς δυτικά) και πήγαινε 2*3 = 6 μίλια". Οι φανταστικοί αριθμοί λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο, με τη διαφορά ότι μπορείτε να περιστραφείτε εν μέρει. Αν πω πηγαίνετε "ανατολικά κατά 2*3i μίλια", σημαίνει το ίδιο με το αν είχα πει "περιστραφείτε μέχρι να κοιτάξετε προς το βορρά και μετά πηγαίνετε 2*3 = 6 μίλια".
Η αφαίρεση των αριθμών 5 - 9 ήταν αδύνατη μέχρι που εφευρέθηκαν οι αρνητικοί αριθμοί. Μετά από αυτό, η λήψη της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού ήταν αδύνατη μέχρι να εφευρεθούν οι φανταστικοί αριθμοί. Η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι 3, αλλά η τετραγωνική ρίζα του -9 δεν είναι -3. Αυτό συμβαίνει επειδή -3 x -3 = +9, όχι -9. Για μεγάλο χρονικό διάστημα φαινόταν ότι δεν υπήρχε απάντηση στην τετραγωνική ρίζα του -9.
Γι' αυτό οι μαθηματικοί επινόησαν τον φανταστικό αριθμό, i, και είπαν ότι είναι η τετραγωνική ρίζα του -1. Η τετραγωνική ρίζα του -1 δεν είναι πραγματικός αριθμός, οπότε αυτός ο ορισμός δημιουργεί έναν νέο τύπο αριθμού, όπως ακριβώς τα κλάσματα δημιουργούν αριθμούς όπως τα 2/3 που δεν είναι αριθμοί μέτρησης όπως το 4 ή το 10, και οι αρνητικοί αριθμοί μας επιτρέπουν να έχουμε αριθμούς μικρότερους από το 0. Μερικές φορές, οι μαθηματικοί φαίνονται μάλλον άνετοι στη χρήση ενός αριθμού που είναι τόσο ασυνήθιστος, αλλά το όνομα φανταστικός δεν πρέπει να σας ξεγελάσει, επειδή το i είναι ένας τόσο έγκυρος αριθμός όσο το 3 ή το 145.379.
Πολλοί κλάδοι της επιστήμης και της μηχανικής έχουν βρει χρήσεις για αυτόν τον αριθμό. Μερικές φορές οι ηλεκτρολόγοι μηχανικοί χρειάζονται το i για να καταλάβουν πώς θα λειτουργήσει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα όταν το σχεδιάζουν (οι ηλεκτρολόγοι μηχανικοί χρησιμοποιούν το j αντί του i για να αποφύγουν τη σύγχυση με το σύμβολο του ρεύματος). Ορισμένοι κλάδοι της φυσικής, όπως η κβαντική φυσική και η φυσική υψηλών ενεργειών, χρησιμοποιούν το i τόσο συχνά όσο χρησιμοποιούν οποιονδήποτε άλλο κανονικό αριθμό. Πολλές εξισώσεις στον κόσμο απλά δεν μπορούν να λυθούν χωρίς το i.
Οι φανταστικοί αριθμοί μπορούν να αναμιχθούν με αριθμούς που μας είναι πιο οικείοι. Για παράδειγμα, ένας πραγματικός αριθμός όπως το 2 μπορεί να προστεθεί σε έναν φανταστικό αριθμό όπως το 3i για να δημιουργηθεί ο 2+3i. Αυτού του είδους οι μικτοί αριθμοί είναι γνωστοί ως σύνθετοι αριθμοί.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι ένας φανταστικός αριθμός;
A: Ένας φανταστικός αριθμός είναι ένας συνδυασμός ενός πραγματικού αριθμού και της φανταστικής μονάδας, που ονομάζεται i, όπου το i ορίζεται ως i^2=-1.
Ερ: Πώς διαφέρουν οι φανταστικοί αριθμοί από τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς;
Α: Οι φανταστικοί αριθμοί ορίζονται ξεχωριστά από τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς στο ότι είναι τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού (αντί για θετικό πραγματικό αριθμό). Αυτό δεν είναι δυνατό με τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του για να προκύψει αρνητικός αριθμός.
Ερ: Τι σημαίνει όταν λέμε "πηγαίνετε ανατολικά κατά -i μίλια";
Α: Όταν λέμε "πηγαίνετε ανατολικά κατά -i μίλια", σημαίνει το ίδιο πράγμα σαν να είχαμε πει "πηγαίνετε νότια κατά 1 μίλι".
Ερ: Πώς προσθέτουμε δύο φανταστικούς αριθμούς;
Α: Για να προσθέσετε δύο φανταστικούς αριθμούς, μπορείτε να πείτε "πηγαίνετε ανατολικά κατά ένα μίλι και βόρεια κατά ένα μίλι". Ο πολλαπλασιασμός δύο φανταστικών αριθμών είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό αριθμό.
Ε: Τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί;
Α: Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μικτοί αριθμοί που αποτελούνται από πραγματικές και φανταστικές συνιστώσες, όπως 2+3i. Δημιουργούνται όταν προσθέτετε μαζί μια πραγματική και μια φανταστική συνιστώσα.
Ερ: Σε ποιους τομείς οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν την έννοια της φανταστικής μονάδας;
Α: Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν την έννοια της φανταστικής μονάδας σε πολλούς κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής, όπως η ηλεκτρολογία, η κβαντική φυσική, η φυσική υψηλών ενεργειών κ.λπ. Χρησιμοποιείται επίσης σε εξισώσεις που δεν μπορούν να λυθούν χωρίς αυτήν.
