Ορισμένοι μαθηματικοί πίστευαν ότι το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη ήταν πολύ μεγαλύτερο και πιο περίπλοκο από τα άλλα τέσσερα αξιώματα. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι μπορούσε να αποδειχθεί από τα άλλα απλούστερα αξιώματα. Ορισμένοι μαθηματικοί ανακοίνωσαν ότι είχαν αποδείξει το αξίωμα από τα απλούστερα αξιώματα, αλλά αποδείχθηκε ότι όλοι τους έκαναν λάθος.
Το αξίωμα του Playfair
Μια άλλη πιο πρόσφατη πρόταση, γνωστή ως αξίωμα του Playfair, είναι παρόμοια με το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. Λέει ότι:
Δεδομένης μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία αυτή, μπορείτε να σχεδιάσετε μόνο μία ευθεία γραμμή μέσω αυτού του σημείου που δεν θα συναντά την άλλη ευθεία.
Στην πραγματικότητα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι αυτό το αξίωμα όχι μόνο είναι παρόμοιο με το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, αλλά έχει ακριβώς τις ίδιες συνέπειες. Μαθηματικά, οι δύο προτάσεις ονομάζονται "ισοδύναμες" προτάσεις. Σήμερα το αξίωμα του Playfair χρησιμοποιείται συχνότερα από τους μαθηματικούς από ό,τι το αρχικό παράλληλο αξίωμα του Ευκλείδη.
Μη ευκλείδεια γεωμετρία
Τελικά κάποιοι μαθηματικοί προσπάθησαν να κατασκευάσουν νέες γεωμετρίες χωρίς να χρησιμοποιούν το αξίωμα. Ένα είδος μη ευκλείδειας γεωμετρίας ονομάζεται ελλειπτική γεωμετρία. Στην ελλειπτική γεωμετρία το παράλληλο αξίωμα αντικαθίσταται από ένα αξίωμα που δηλώνει ότι:
Δεδομένης μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία αυτή, δεν μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή μέσω αυτού του σημείου που δεν θα τέμνει τελικά την άλλη ευθεία γραμμή.
Οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι όταν αντικατέστησαν το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη με αυτό το αξίωμα, ήταν ακόμα σε θέση να αποδείξουν πολλά από τα άλλα θεωρήματα του Ευκλείδη. Ένας τρόπος για να φανταστεί κανείς την ελλειπτική γεωμετρία είναι να σκεφτεί την επιφάνεια μιας σφαίρας. Σε μια σφαίρα, οι γραμμές γεωγραφικού μήκους φαίνονται να είναι παράλληλες στον ισημερινό, αλλά όλες συναντώνται στους πόλους. Στα τέλη του 19ου αιώνα, η ελλειπτική γεωμετρία αποδείχθηκε συνεπής. Αυτό απέδειξε ότι το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη δεν ήταν ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα. Μετά από αυτό, οι μαθηματικοί ως επί το πλείστον σταμάτησαν να προσπαθούν να αποδείξουν το πέμπτο αξίωμα από τα άλλα τέσσερα αξιώματα. Αντ' αυτού, πολλοί μαθηματικοί άρχισαν να μελετούν άλλες γεωμετρίες που δεν ακολουθούν το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη.
Ένα άλλο αξίωμα με το οποίο οι μαθηματικοί αντικαθιστούν μερικές φορές το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη λέει ότι:
Δίνοντας μια ευθεία και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία αυτή, μπορείτε να σχεδιάσετε τουλάχιστον δύο ευθείες που περνούν από το σημείο αυτό και οι οποίες δεν θα τέμνουν τελικά την άλλη ευθεία.
Αυτό ονομάζεται υπερβολική γεωμετρία.
Μια άλλη γεωμετρία απλώς αφαιρεί το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη και δεν το αντικαθιστά με τίποτα. Αυτή ονομάζεται ουδέτερη γεωμετρία ή απόλυτη γεωμετρία.
