Ευκλείδεια γεωμετρία
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα σύστημα στα μαθηματικά. Ο κόσμος πιστεύει ότι ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που το περιέγραψε, γι' αυτό και φέρει το όνομά του. Την περιέγραψε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Στοιχεία. Το βιβλίο ήταν η πρώτη συστηματική συζήτηση της γεωμετρίας όπως ήταν γνωστή εκείνη την εποχή. Στο βιβλίο, ο Ευκλείδης αρχικά υποθέτει μερικά αξιώματα. Αυτά αποτελούν τη βάση για το μετέπειτα έργο. Είναι διαισθητικά ξεκάθαρα. Ξεκινώντας από αυτά τα αξιώματα, άλλα θεωρήματα μπορούν να αποδειχθούν.
Τον 19ο αιώνα βρέθηκαν και άλλες μορφές γεωμετρίας. Πρόκειται για τη μη ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Carl Friedrich Gauss, ο János Bolyai και ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky ήταν μερικοί άνθρωποι που ανέπτυξαν τέτοιες γεωμετρίες. Πολύ συχνά, αυτές δεν χρησιμοποιούν το παράλληλο αξίωμα, αλλά τα άλλα τέσσερα αξιώματα.
Τα αξιώματα
Ο Ευκλείδης κάνει τις ακόλουθες υποθέσεις. Πρόκειται για αξιώματα και δεν χρειάζεται να αποδειχθούν.
- Οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούν να ενωθούν με μια ευθεία γραμμή
- Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να επιμηκυνθεί (επεκταθεί) στο άπειρο, οπότε γίνεται ευθεία γραμμή.
- Με ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι δυνατόν να σχεδιαστεί ένας κύκλος, έτσι ώστε το ένα τελικό σημείο του τμήματος να είναι το κέντρο του κύκλου και το άλλο τελικό σημείο να βρίσκεται πάνω στον κύκλο. Το ευθύγραμμο τμήμα γίνεται η ακτίνα του κύκλου.
- Όλες οι ορθές γωνίες είναι σύμφωνες
- Παράλληλο αξίωμα. Αν δύο ευθείες τέμνουν μια τρίτη κατά τρόπο ώστε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών στη μία πλευρά να είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε οι δύο ευθείες πρέπει αναπόφευκτα να τέμνονται μεταξύ τους σε αυτή την πλευρά, αν επεκταθούν αρκετά μακριά.
Κατάσταση
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια θεωρία πρώτης τάξης. Με αυτήν μπορούν να γίνουν και να αποδειχθούν δηλώσεις όπως Για όλα τα τρίγωνα.... Δηλώσεις όπως Για όλα τα σύνολα τριγώνων... είναι εκτός του πεδίου εφαρμογής της θεωρίας.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η ευκλείδεια γεωμετρία;
A: Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα σύστημα στα μαθηματικά που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη στο βιβλίο του Στοιχεία. Αποτελείται από μερικά αξιώματα τα οποία αποτελούν τη βάση για μεταγενέστερες εργασίες, και άλλα θεωρήματα μπορούν να αποδειχθούν από αυτά τα αξιώματα.
Ερ: Ποιος έγραψε τα Στοιχεία;
Α: Ο Ευκλείδης έγραψε τα Στοιχεία, τα οποία ήταν η πρώτη συστηματική συζήτηση της γεωμετρίας, όπως ήταν γνωστή εκείνη την εποχή.
Ερ: Ποια είναι μερικά παραδείγματα μη ευκλείδειων γεωμετριών;
Α: Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες αναπτύχθηκαν από τους Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai και Nikolai Ivanovich Lobachevsky τον 19ο αιώνα. Αυτές συχνά δεν χρησιμοποιούν το παράλληλο αξίωμα αλλά βασίζονται στα άλλα τέσσερα αξιώματα.
Ερ: Τι συζητούν τα Στοιχεία;
Α: Τα Στοιχεία συζητούν τη γεωμετρία όπως ήταν γνωστή εκείνη την εποχή και παρέχουν μια συστηματική συζήτησή της.
Ερ: Πόσα αξιώματα έχει η ευκλείδεια γεωμετρία;
Α: Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει μερικά αξιώματα που αποτελούν τη βάση της για μεταγενέστερες εργασίες.
Ερ: Ποιος ανέπτυξε τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες;
Α: Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες αναπτύχθηκαν από τους Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai και Nikolai Ivanovich Lobachevsky τον 19ο αιώνα.
Ερ: Η μη ευκλείδεια γεωμετρία χρησιμοποιεί και τα πέντε αξιώματα ή μόνο τέσσερα;
A: Η μη Ευκλείδεια γεωμετρία συχνά δεν χρησιμοποιεί το αξίωμα της παραλληλίας αλλά βασίζεται σε τέσσερα μόνο από τα πέντε αξιώματά της.
