Θεώρημα πρώτων αριθμών

Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι ένα θεώρημα από τη θεωρία των αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο φάσμα των αριθμών. Το θεώρημα επισημοποιεί την ιδέα ότι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό μεταξύ του 1 και ενός συγκεκριμένου αριθμού γίνεται μικρότερη, καθώς οι αριθμοί αυξάνονται. Η πιθανότητα αυτή είναι περίπου n/ln(n), όπου ln(n) είναι η συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό με 2n ψηφία είναι περίπου η μισή από ό,τι με n ψηφία. Για παράδειγμα, μεταξύ των θετικών ακεραίων αριθμών με το πολύ 1000 ψηφία, περίπου ένας στους 2300 είναι πρώτος (ln ¹⁰¹⁰⁰⁰ ≈ 2302,6), ενώ μεταξύ των θετικών ακεραίων αριθμών με το πολύ 2000 ψηφία, περίπου ένας στους 4600 είναι πρώτος (ln ¹⁰²⁰⁰⁰ ≈ 4605,2). Με άλλα λόγια, η μέση διαφορά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών μεταξύ των πρώτων Ν ακεραίων είναι περίπου ln(N).

Το 1793 ο δεκαπεντάχρονος Καρλ Φρίντριχ Γκάους υποψιάστηκε ότι υπήρχε σχέση μεταξύ των πρώτων αριθμών και των λογαρίθμων. Ο Adrien-Marie Legendre υποψιάστηκε επίσης μια τέτοια σχέση το 1798. Ο Jacques Hadamard και ο Charles-Jean de La Vallée Poussin απέδειξαν το θεώρημα των πρώτων αριθμών το 1896, πάνω από έναν αιώνα μετά τον Gauss.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι το θεώρημα των πρώτων αριθμών;

Ερ: Οι πρώτοι αριθμοί είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι σε όλο το εύρος των αριθμών;

Ερ: Τι επισημοποιεί το θεώρημα των πρώτων αριθμών;

Ερ: Ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό μεταξύ του 1 και ενός συγκεκριμένου αριθμού;

Ερ: Είναι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό με 2n ψηφία μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό με n ψηφία;

Ερ: Ποιος απέδειξε το θεώρημα των πρώτων αριθμών;

Ερ: Ποια είναι η μέση διαφορά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών μεταξύ των πρώτων Ν ακεραίων;

Αναζήτηση με γράμμα