Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι ένα θεώρημα από τη θεωρία των αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο φάσμα των αριθμών. Το θεώρημα επισημοποιεί την ιδέα ότι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό μεταξύ του 1 και ενός συγκεκριμένου αριθμού γίνεται μικρότερη, καθώς οι αριθμοί αυξάνονται. Η πιθανότητα αυτή είναι περίπου n/ln(n), όπου ln(n) είναι η συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να πετύχουμε έναν πρώτο αριθμό με 2n ψηφία είναι περίπου η μισή από ό,τι με n ψηφία. Για παράδειγμα, μεταξύ των θετικών ακεραίων αριθμών με το πολύ 1000 ψηφία, περίπου ένας στους 2300 είναι πρώτος (ln 101000 ≈ 2302,6), ενώ μεταξύ των θετικών ακεραίων αριθμών με το πολύ 2000 ψηφία, περίπου ένας στους 4600 είναι πρώτος (ln 102000 ≈ 4605,2). Με άλλα λόγια, η μέση διαφορά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών μεταξύ των πρώτων Ν ακεραίων είναι περίπου ln(N).
Το 1793 ο δεκαπεντάχρονος Καρλ Φρίντριχ Γκάους υποψιάστηκε ότι υπήρχε σχέση μεταξύ των πρώτων αριθμών και των λογαρίθμων. Ο Adrien-Marie Legendre υποψιάστηκε επίσης μια τέτοια σχέση το 1798. Ο Jacques Hadamard και ο Charles-Jean de La Vallée Poussin απέδειξαν το θεώρημα των πρώτων αριθμών το 1896, πάνω από έναν αιώνα μετά τον Gauss.